Matematik
Kasse-optimering
11. januar 2006 af
Nowa (Slettet)
"En kasse uden låg med kvadratisk bund skal kunne rumme 1,5 kubikmeter. Sidelængden i den kvadratiske bund (angivet u meter) betegnes l, og højden af kassen (angivet i meter) betegnes h.
1) Bestem højden h udtrykt ved sidelængden l
Kassen dimensioneres, så dens overflade bliver mindst muligt.
2) Bestem sidelængde og højde for en sådan kasse"
Jeg fatter intet af den slags optimering, og jeg skal aflevere om 7 timer...!! Hvad/hvordan gør jeg...??!!
1) Bestem højden h udtrykt ved sidelængden l
Kassen dimensioneres, så dens overflade bliver mindst muligt.
2) Bestem sidelængde og højde for en sådan kasse"
Jeg fatter intet af den slags optimering, og jeg skal aflevere om 7 timer...!! Hvad/hvordan gør jeg...??!!
Svar #1
11. januar 2006 af Dominik Hasek (Slettet)
Ad 1)
Du ved at l^2*h = 1,5, så du burde kunne udtrykke h ved l.
Ad 2)
Du skal have fat i noget differentialregning!
Du ved at l^2*h = 1,5, så du burde kunne udtrykke h ved l.
Ad 2)
Du skal have fat i noget differentialregning!
Svar #2
11. januar 2006 af -Glenn- (Slettet)
Rumfanget af en kasse er givet ved:
V = l*h*b, da bunden af kassen er kvadratisk, må det betyde, at udtrykket for Volumen af kassen kan skrives:
V = l^2*h, desuden ved du at V skal være 1,5 m^3, dvs.
1,5 = l^2*h. Nu kan du besvare 1) ved at isolere h, hvorved du udtrykker h ved l.
1,5 = l^2*h <=> h = 1,5/l^2
2) Da det er overfladen af kassen der skal dimensioneres, er det nyttigt at have en funktion, der beskriver arealet af overfladen, vi kalder den A.
Og her er det så en go idé at tegne. Forestil dig at du folder kassen ud så du har den kvadratiske bund i midten, og og udfra denne stikker så de fire sideflader.
Arealet af den kvadratiske bund må være l^2 og et sidestykke må have arealet l*h. Da bunden er kvadratisk har alle fire sidestykker ens dimensioner, det samlede areal er derfor A = arealBund + 4*arealSidestykke, dvs.
A(l,h) = l^2+4*h*l. Dette er en funktion i to variable l og h, hvilket vi ikke kan bruge til så meget, men i 1) udtrykkede vi jo h ved l, h = 1,5/l^2, og du kan nu sætte dette ind på hs plads i A(l,h). Dvs,
A(l) = l^2 + 4*(1,5/l^2)*l = l^2+6/l, og nu er A en funktion i én variabel.
Nu differentieres A(l) => A'(l) = 2*l-6/l^2, og A'(l) = 0, dvs.
0 = 2*l - 6/l^2, nu isoleres l,
l = 3^(1/3). Det betyder, at for denne værdi af l, da har A lokalt maks/min. Det skulle gerne være et min, da arealet skal være mindst mulig. Du kontrolere ved at indsætte en værdi(v1) mindre end 3^(1/3) i A'(l) og derefter indsætte en værdi(v2) større end 3^(1/3). Hvis v1
Nu har du bestemt l, så mangler du bare at bestemme h, og du har jo et udtryk for h, så det er bare at indsætte:
h = 1,5/l^2 = 1,5/(3^(1/3))^2 = 1,5/3^(2/3), og nu har du bestemt både både sidelængden og højden.
Go'nat og sov godt! ;)
V = l*h*b, da bunden af kassen er kvadratisk, må det betyde, at udtrykket for Volumen af kassen kan skrives:
V = l^2*h, desuden ved du at V skal være 1,5 m^3, dvs.
1,5 = l^2*h. Nu kan du besvare 1) ved at isolere h, hvorved du udtrykker h ved l.
1,5 = l^2*h <=> h = 1,5/l^2
2) Da det er overfladen af kassen der skal dimensioneres, er det nyttigt at have en funktion, der beskriver arealet af overfladen, vi kalder den A.
Og her er det så en go idé at tegne. Forestil dig at du folder kassen ud så du har den kvadratiske bund i midten, og og udfra denne stikker så de fire sideflader.
Arealet af den kvadratiske bund må være l^2 og et sidestykke må have arealet l*h. Da bunden er kvadratisk har alle fire sidestykker ens dimensioner, det samlede areal er derfor A = arealBund + 4*arealSidestykke, dvs.
A(l,h) = l^2+4*h*l. Dette er en funktion i to variable l og h, hvilket vi ikke kan bruge til så meget, men i 1) udtrykkede vi jo h ved l, h = 1,5/l^2, og du kan nu sætte dette ind på hs plads i A(l,h). Dvs,
A(l) = l^2 + 4*(1,5/l^2)*l = l^2+6/l, og nu er A en funktion i én variabel.
Nu differentieres A(l) => A'(l) = 2*l-6/l^2, og A'(l) = 0, dvs.
0 = 2*l - 6/l^2, nu isoleres l,
l = 3^(1/3). Det betyder, at for denne værdi af l, da har A lokalt maks/min. Det skulle gerne være et min, da arealet skal være mindst mulig. Du kontrolere ved at indsætte en værdi(v1) mindre end 3^(1/3) i A'(l) og derefter indsætte en værdi(v2) større end 3^(1/3). Hvis v1
Nu har du bestemt l, så mangler du bare at bestemme h, og du har jo et udtryk for h, så det er bare at indsætte:
h = 1,5/l^2 = 1,5/(3^(1/3))^2 = 1,5/3^(2/3), og nu har du bestemt både både sidelængden og højden.
Go'nat og sov godt! ;)
Svar #3
11. januar 2006 af Nowa (Slettet)
Tak er kun et fattigt ord :) Tusind tak mester, der reddede du sgu lige min dag...! :P
Skriv et svar til: Kasse-optimering
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.