venus express

Til almen oplsyning, for de der ikke måtte kende begrebet, er en Hohmann-bane løsningen på følgende opgave:

Bestem den bane, der fører en satellit fra een cirkelbane til en anden cirkelbane og som kræver mindst mulig energitilførsel.

Hohmann viste, at man skal vælge en ellipsebane, der netop tangerer de to givne cirkelbaner. Baner af denne art kaldes Hohmann-baner.

Så et par hints til opgaven:

Mål afstande fra solen i astronomiske enheder (AU). Jorden er da i afstanden 1 AU og den planet, vi ønsker at flyve til, i n AU.

Den halve storakse, a, i Hohmann banen bliver derfor

a = ½(1+n) (*)

Hohmann-banen er en ellipsebane med Solen i det ene brændpunkt. For en flyvning til en _indre_ planet (d.v.s. Merkur eller Venus) er aphelion (punktet på Hohmann-banen fjernest fra Solen) derfor Jorden, og perihelion (punktet på Hohmann-banen nærmest Solen) den indre planet. Betegn aphelions og perihelions afstande fra Solen med hhv r_a og r_p.

Sonden skal altså opsendes opsendes fra Jorden med en sådan hastighed v fra Jorden at dens hastighed i forhold til Solen (i afstanden 1 AU som er Jordens afstand fra Solen) netop bliver aphelionhastigheden i Hohmann-banen.

Aphelionhastigheden er givet ved

v_a = sqrt(GM/a)*sqrt(r_p/r_a) (**)

[Vises ved energibetragtninger hvis du da ikke kan slå det op i din bog]. Bemærk at M i (**) er _Solens_ masse.

Da der er tale om en Hohmann-bane har vi

r_p/r_a = n

som sammen med (*) kan indsættes i (**) og give

v = v_a = sqrt(2GM)*sqrt(n/(n+1)) (***)

For Venus haves n=0.723 AU og da fås v_a = 27.28 km/s. Dette er den hastighed sonden skal have i forhold til Solen idet den opsendes fra Jorden. Det er ikke den hastighed hvormed den skal opsendes fra Jorden.

Jorden selv har hastigheden

v_jord = sqrt(GM/r_jord) = 29.78 km/s

i forhold til Solen i sin bane om denne. Det betyder, at sonden skal opsendes _mod_ Jordens rotationsretning om solen men en sådan hastighed, v_op, at den får hastigheden (27.28 - 29.78) km/s = -2.5 km/s i forhold til denne.

Vis dernæst ved energibetragtninger, at hvis en sonde skal opsendes fra jorden således at den >>meget langt væk<< fra jorden har hastigheden v i forhold til jorden, da skal dens opsendelseshastighed være

v_op = sqrt((v_E)² + v²) (****)

hvor v_E er undvigelseshastigheden (ca. 11.19 km/s).

Indsættes de -2.5 km/s i (****) fås det samlede hastighedskrav til en Hohmann-bane mod Venus til 11.46 km/s.

Prøv om du kan eftergøre regningerne. Spørg hvis det bliver for tungt.

Jeg havde selv lavet noget i samme stil, men var ikke kommet frem til det samme.
Har lige et spørgsmål til. Er dette den samlede hastighed helt til Venus?

Ja, hvis det forudsættes der ikke skal kurskorrigeres undervejs.