Matematik
Differentiation (optimering)
06. februar 2006 af
Jankovich (Slettet)
Jeg skal beregne radius og højde i en cylinder,ud fra den forudsætningerne
at rumfanget skal være størts muligt
at overfladearealet skal være 800cm^2
Dvs. at jeg her arbejder med begrebet optimering inden for differentiering ikke?
Jeg har selv prøvet mig lidt frem:
Overflade = ((2*pi*r)*h) + (2*pi*r^2)
Volumen = pi*r^2*h
Jeg har så isoleret r i overflade formlen for at få et udtryk kun ved h, men kan ikke rigtigt se hva jeg ska bruge det til; da r alligevel kommer ind i udtrykket igen, når jeg skal 'sætte' volumen udtrykket sammen med overflade udtrykket?
Nogen der kan guide mig i den rigtige retning?
På forhånd tak!
at rumfanget skal være størts muligt
at overfladearealet skal være 800cm^2
Dvs. at jeg her arbejder med begrebet optimering inden for differentiering ikke?
Jeg har selv prøvet mig lidt frem:
Overflade = ((2*pi*r)*h) + (2*pi*r^2)
Volumen = pi*r^2*h
Jeg har så isoleret r i overflade formlen for at få et udtryk kun ved h, men kan ikke rigtigt se hva jeg ska bruge det til; da r alligevel kommer ind i udtrykket igen, når jeg skal 'sætte' volumen udtrykket sammen med overflade udtrykket?
Nogen der kan guide mig i den rigtige retning?
På forhånd tak!
Svar #1
06. februar 2006 af TF (Slettet)
Fint med at isolere h.
I det følgende har jeg isoleret r. Når du kender udtrykket for Vol(r), dvs volumenfunktionen mht. r, kan du ved at tage den afledte dV/dr finde et maksimum / minimum. Ved at undersøge fortegn kan du afgøre om det er maks eller min. Her er min dog 0 som følge af at r > 0.
Først løses arealfunktionen for h, derefter indsættes denne værdi i Volumenfunktionen.
Areal = 800 løses mht h:
h= (800-2*Pi*r^2)/(2*Pi*r)
indsættes i Vol:
V=Pi*r^2*((800-2*Pi*r^2)/(2*Pi*r)) = 400*r-Pi*r^3
den afledte:
dV/dr = 400-3*Pi*r^2 = 0 =>
r^2 = 400/(3*Pi) =>
r = 20 / sqrt(3*Pi) for maks vol
denne r værdi indsættes i udtrykket for h :
h = 40 / sqrt(3*Pi)
Vol = [Pi*400/(3*Pi)] *[ 40/ sqrt(3*Pi)] = 16000/ (3*sqrt(3*Pi)).
Prøv at tegne volumenfunktionen – så vil du se hvordan 3.gradsligningen ligger med hhv. min og maks.
Ved at tage dV/dh = 0 får du det samme. Det er blot mere besværligt.
I det følgende har jeg isoleret r. Når du kender udtrykket for Vol(r), dvs volumenfunktionen mht. r, kan du ved at tage den afledte dV/dr finde et maksimum / minimum. Ved at undersøge fortegn kan du afgøre om det er maks eller min. Her er min dog 0 som følge af at r > 0.
Først løses arealfunktionen for h, derefter indsættes denne værdi i Volumenfunktionen.
Areal = 800 løses mht h:
h= (800-2*Pi*r^2)/(2*Pi*r)
indsættes i Vol:
V=Pi*r^2*((800-2*Pi*r^2)/(2*Pi*r)) = 400*r-Pi*r^3
den afledte:
dV/dr = 400-3*Pi*r^2 = 0 =>
r^2 = 400/(3*Pi) =>
r = 20 / sqrt(3*Pi) for maks vol
denne r værdi indsættes i udtrykket for h :
h = 40 / sqrt(3*Pi)
Vol = [Pi*400/(3*Pi)] *[ 40/ sqrt(3*Pi)] = 16000/ (3*sqrt(3*Pi)).
Prøv at tegne volumenfunktionen – så vil du se hvordan 3.gradsligningen ligger med hhv. min og maks.
Ved at tage dV/dh = 0 får du det samme. Det er blot mere besværligt.
Skriv et svar til: Differentiation (optimering)
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.