KOMPLEKSE TAL

Tjah, hvis du har fx f(x)=x²+1, og vil løse ligningen 0=x²+1, så har den ingen løsninger inden for de reelle tal, da d=-4. Man har indført i (den imaginære enhed), og i = sqrt(-1) og dermed i²=-1. Dette kan du udnytte, da d = -4 = 4*-1 = 4*i². Herfra kan du gå vidre med den normale løsningsformel for 2.gradsligninger, der i dette tilfælde bliver:

x = ±sqrt(4*i²)/2, her kan du benytte den normale regel, der siger: sqrt(ab)=sqrt(a)*sqrt(b), det giver altså:

x = ±sqrt(4)*sqrt(i²)/2 = ±2*i/2 = ±i

Har du tidligere haft om komplekse tal?

Hvis ikke tror jeg ikke at denne forklaring vil give megen mening:

Idet jeg antager at du kun søger den gennerelle løsning på en andengradsligning af formen:

a*x^2+b*x+c = 0,

Hvor a <> 0 (<> betyder forskellig fra), og hvor diskriminanten er,
d = b^2-4*a*c, er de to løsninger givet ved:

x = (-b+w)/(2*a)

Hvor w er et komplekst tal, med w^2 = d

Eksempel:

Vi ønsker at løse andengradsligningen:

2*x^2+i*x+2 = 0

a = 2
b = i
c = 2

diskriminanten:

d = (i)^2-4*2*2 = -1-16 = -17

vi søger da w:

w^2 = -17 - en binom ligning

Løsningerne til den binome ligning af formen:

w^2 = e+i*f

er givet ved:

w = +/- (sqrt((r+e)/2) + i*sign(f)*sqrt((r-e)/2))

hvor r er modulus for det komplekse tal:

|e + i*f|= sqrt(e^2+f^2) = 17

Endvidere er sign(f) defineret som følger:

sign(f) = -1, hvis f >= 0
sign(f) = -1, hvis f

det vil sige i dette tilfælde er sign(f) = 1

de søgte løsninger til den binome ligning er da:

w = +/- (sqrt((17+(-17))/2) + i*(-1)*sqrt((17-(-17))/2)) =>
w[1] = -i*sqrt(17) og w[2] = conjugate(w[1] = i*sqrt(17)

(Hvor conjugate referer til den komplekst konjugerede.)

De søgte løsninger til andengradsligningen er da:


x[1] = (-b+w[1])/(2*a) = (-i+(-i*sqrt(17))/(2*2) = -1/4*i-1/4*i*sqrt(17)

x[2] = (-b+w[2])/(2*a)= -1/4*i+1/4*i*sqrt(17)


Håber det gavnede mere end det forvirrede?

//sentinox

Hej.. Jeg harikek hft om komplekse tal. Kunne i hjælpe mig med AT FINDE EN BOG eller bøger om det???