Matematik
Uendelighed
06. februar 2006 af
vanquish4 (Slettet)
Jeg skriver en SSO om uendelighedsbegrebet. Når står jeg overfor et problem:
Man skal vise at liniestykkerne [0,l] og [0,1[ har samme mægtighed. Det skal man gøre udfra Bernsteins Ækvivalens sætning, som giver god mening for mig.
Man skal altså vise en en-entydig afbildning af det lukkede interval på det halvåbne interval.
Jeg forstår ikke umiddelbart eksemplet på afbildningen af Cantor, der viser at der er uendeligt mange diskontinuitetspunkter.
Hvordan skal jeg illustrere en fuldstændig sammenparing af punkterne fra de 2 intervaller???
Man skal vise at liniestykkerne [0,l] og [0,1[ har samme mægtighed. Det skal man gøre udfra Bernsteins Ækvivalens sætning, som giver god mening for mig.
Man skal altså vise en en-entydig afbildning af det lukkede interval på det halvåbne interval.
Jeg forstår ikke umiddelbart eksemplet på afbildningen af Cantor, der viser at der er uendeligt mange diskontinuitetspunkter.
Hvordan skal jeg illustrere en fuldstændig sammenparing af punkterne fra de 2 intervaller???
Svar #1
08. februar 2006 af fixer (Slettet)
I stedet for at finde en bijektion for omtalte specialtilfælde kan du jo også vise helt generelt at alle åbne, lukkede og halvåbne intervaller har samme kardinalitet.
Lad a
f(x) = c((x-b)/(a-b))+d((x-a)/(b-a))
er en bijektion mellem [a,b] og [c,d] og mellem ]a,b[ og ]c,d[. Af Cantor-Bernsteins teorem følger, at så har [a,b] samme kardinalitet som [c,d] og ]a,b[ samme kardinalitet som ]c,d[. Idet vi med |S| betegner kardinaliteten af mængden S, gælder altså
|[a,b]| = |[c,d]|
|]a,b[| = |]c,d[|
Desforuden haves
|]a,b[| =
hvor første lighed følger af, at ]a,b[ er en delmængde af [a,b], anden lighed følger af at [a,b] er en delmængde af ]a-1,b-1[ og sidste lighed følger af, at kardinaliteten er ens for alle åbne intervaller (vist ovenfor). Af Cantor-Bernstein teoremet sluttes nu at
|]a,b[| = |[a,b]|
Alle lukkede og åbne intervaller har derfor samme kardinalitet.
Du kan fortsætte på præcist samme måde og vise at alle åbne og halv-åbne intervaller har samme kardinalitet, samt at alle lukkede og halv-åbne intervaller har samme kardinalitet.
Lad a
f(x) = c((x-b)/(a-b))+d((x-a)/(b-a))
er en bijektion mellem [a,b] og [c,d] og mellem ]a,b[ og ]c,d[. Af Cantor-Bernsteins teorem følger, at så har [a,b] samme kardinalitet som [c,d] og ]a,b[ samme kardinalitet som ]c,d[. Idet vi med |S| betegner kardinaliteten af mængden S, gælder altså
|[a,b]| = |[c,d]|
|]a,b[| = |]c,d[|
Desforuden haves
|]a,b[| =
hvor første lighed følger af, at ]a,b[ er en delmængde af [a,b], anden lighed følger af at [a,b] er en delmængde af ]a-1,b-1[ og sidste lighed følger af, at kardinaliteten er ens for alle åbne intervaller (vist ovenfor). Af Cantor-Bernstein teoremet sluttes nu at
|]a,b[| = |[a,b]|
Alle lukkede og åbne intervaller har derfor samme kardinalitet.
Du kan fortsætte på præcist samme måde og vise at alle åbne og halv-åbne intervaller har samme kardinalitet, samt at alle lukkede og halv-åbne intervaller har samme kardinalitet.
Skriv et svar til: Uendelighed
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.