sfæriske coordinater

Ja, vi fortsøtter lige


Vi ved at i rummet er afstandem ds

ds²=dx²+dy²+dz²

nu benytter vi så sfæriske cordinater
x=rsin(O)cos(ø)
y=rsin(O)sin(ø)
z=rcos(O)

jeg skal så vise at med disse cordinater får vi

ds²=dr²+r²[dO²+sin²Odø²]

jeg har rodet lidt med det, men det vil ikke passe

på forhånd tak

#0:
hvad mener du med ``O OG''?

#1:
Skriv, hvad du har fået indtil videre, så vi kan finde fejlen.

Du skal blot bestemme den metriske tensor, g_ij, i det nye system. Kvadratet på enhedsbuelængden er da

ds² = g_ij*(dx^i)(dx^j)

hvor det med "^" _ikke_ menes eksponntierien, men derimod hævede indices som det er sædvanligt for kontravariante komponenter.

Det er ret enkelt at betsemme g_ij når der eksisterer en afbilding

x=x(u,v,w)
y=y(u,v,w)
z=z(u,v,w)

mellem et _rektangulært_ system og et krumlinet system, thi

g_ij = J^(T)J (*)

hvor "^(T)" betegner transponering og J er Jacobimatricen for afbildingen.

I det konkrete tilfælde haves

x = rsin(O)cos(phi)
y = rsin(O)sin(phi)
z = rcos(phi)

Resten er simpel indsættelse i (*).

Jeg har samme problem, men har ikke gjort som #3 gør, det ville jeg gerne have udpenslet.

Jeg har indsat
x=rsin(O)cos(ø)
y=rsin(O)sin(ø)
z=rcos(O)

i

ds^2=dx^2+dy^2+dz^2

altså
ds^2=dr^2sin^2(O)cos^2(ø)+dr^2sin^2(O)cos^2(ø)+r^2cos^2(O)

så sætter jeg dr^2 uden for, men så bliver det tilbage lig 1

ds^2=dr^2(1)

kom med lidt nærmere udregninger, så jeg kan se det.

#3
"hvor det med "^" _ikke_ menes eksponntierien, men derimod hævede indices som det er sædvanligt for kontravariante komponenter"


det mangler lige lidt forklaring, jeg kan ikke helt gennemskue hvad du præcist mener.

jeg er med på jakobimatricen og transponeringen

Nuvel, hvis begreber som kovariante og kontravariante tensorer er ukendte, vil det føre for vidt at komme ind nærmere på det her.

Kort fortalt knytter betegnelserne sig til hvorvidt basisvektorer og vektorkoordinater transformerer efter samme regel (kovariant) eller ikke (kontravariant) under en (multi)lineær afbilding mellem vektorrum.

Indføres et skalarprodukt i et vektorum forsynet med baissvektorer e_1,...,e_n er det bekendt at skalarproduktet mellem vektorer u og v er

u*v = (u_i)(v_j)(e_i * e_j) (*)

hvor Einsteins summationskonvention (=summation over gentagne indices) er anvendt. Og den korrekte notation her ville altså være at benytte hævede indices på koordinaterne u_i og v_j, men lad nu det ligge. Man definerer nu den metriske tensor som

g_ij = e_i * e_j

altså som en andenordens kovariant tensor hvis elementer er skalarprodukterne mellem basisvektorerne. Af g_ij kan man altså aflæse længderne af basisvektorerne og vinklerne imellem dem.

Formel (*) kan altså skrives

u*v = g_ij(u_i)(v_j)

og specielt bliver kvadratet på længden af en vektor u altså

||u||² = g_ij(u_i)(u_j)

Det er på denne måde, det differentielle bueelement nævnt i #3 fremkommer.

Med en ortogonal basis haves e_i * e_j = 0 for i != j, således at det kun er g_ii der er forskellige fra nul.

Man skal således blot bestemme skalarprodukterne mellem basisvektorerne e_i * e_i, 1 =

En anden måde at løse opgaven på er derfor at bestemme koordinaterne for basisvektorerne i det sfæriske system udtrykt ved basisvektorerne i det rektangulære system. Kaldes disse basisvektorer henholdvis r, phi og theta er

g_11 = r*r
g_22 = phi*phi
g_33 = theta*theta

idet de øvrige skalarprodukter er nul qua ortogonaliteten.