Matematik

differentialligninger - lidt hjælp

08. marts 2006 af Hønsen (Slettet)

Godaften.. Jeg sidder med opgave 7,142 i eksamensopgaver i matematik 2.
Opgaven lyder: En funktion f er løsning til differentialligningen dy/dx = 1/xy , x>0 og grafen for f går gennem punktet P(1,-2)

Jeg har så bestemt tangentligningen til grafen for f, der går gennem punktet P, men jeg skal så bestemme forskriften og definitionsmængden for f.
Jeg har brugt seperation af de variable og fået følgende:
Sydy = S1/xdx <=> ½y^2=lnx+k
ved at indsætte punktet ind finder vi så k til at være 2. og herefter isoleres y og vi får:
y = Sqr(2(lnx+2))
er dette korrekt? og definitionsmængden er jeg lidt i tvivl om?

Brugbart svar (0)

Svar #1
08. marts 2006 af Draagslag (Slettet)

Inden du kan løse differentialligningen skal du først lave områder for løsningen. Når du har gjort det, så er der en lille fejl i din formel for y. Konstanten er ikke 2, men 4. Løsningen er y = -Sqr(2ln(x)+4)... Dette står dig klart når du har løst områderne. Definitionsmængden kan jeg vende tilbage til, hvis du ikke kan finde den selv.

Håber det hjælper.

Svar #2
08. marts 2006 af Hønsen (Slettet)

jeg tror ikke at jeg helt er med på at lave områder for løsningen? er det at x skal være større end 0?
hvorfor giver k 4 og ikke 2?
tak for hjælpen

Brugbart svar (0)

Svar #3
08. marts 2006 af Draagslag (Slettet)

Inden du finder en løsning til differentialligningen skal du definere de områder hvor den kan løses, dvs. du skal kigge på y. y må ikke være 0 fordi y er i nævneren. Altså er områderne hvor en løsning til differentialligningen kan ligge enten y > 0 eller y
Hvis vi så ser på ligningen, så har jeg følgende beregninger (jeg starter lidt inde i ligningen).
integral af y = integral af x^-1 <=>

0,5y^2 = ln(IxI) + k (x>0) derfor kan numerisk streger fjernes <=>

y^2 = 2ln(x)+2k <=>

y = +-Sqr(2lnx + 2k), da vi ser på y
y = -Sqr(2lnx + 2k)

Betsemmelse af k

-2 = -Sqr(2ln(1) + 2k) <=>

2 = Sqr(2k) <=>

4 = 2k, hvilket vi søgte. altså er løsningen

y = -Sqr(2ln(x) + 4)

Definitionsmængden skal bestemmes, da du ved at kvadratroden ikke kan tages af negative værdier... Den synes jeg du lige selv skal prøve.

Håber du kan bruge det.

Brugbart svar (0)

Svar #4
09. marts 2006 af Alima (Slettet)

#3

men hvis 4 = 2k, får vi så ikke k = 4/2 =2 ?

og defintionsmængden bestemmes så til
Dm(f) = ]e^-2;uendelig[ ?

Svar #5
09. marts 2006 af Hønsen (Slettet)

#4

ja, det er også hvad jeg kommer frem til, men er ikke helt sikkert... altså med hensyn til bestemmelse af k

Brugbart svar (0)

Svar #6
09. marts 2006 af Draagslag (Slettet)

Jo, men inde i selve løsningen skal der stå 4, hvilket jeg prøvede at antyde på denne måde... I # 1 har du nemlig skrevet 2, men da der skal stå 2k inde i løsningen, bliver det 4. Definitionsmængden er i øvrigt rigtig i #4.

Brugbart svar (0)

Svar #7
09. marts 2006 af Draagslag (Slettet)

Jeg tilføjer lige lidt til indlæg #6.

Vi har:

y = -Sqr(2lnx + 2k)

Vi finder herefter at 2k = 4, hvorfor der skal stå 4, og ikke 2 i vores løsning.

Svar #8
09. marts 2006 af Hønsen (Slettet)

aha... jo tak.. nu er jeg helt med.

tak for hjælpen

Skriv et svar til: differentialligninger - lidt hjælp

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.