Matematik

Redegørelse

10. marts 2006 af Carsten_L (Slettet)

Jeg er blevet en differentialligning, hvortil jeg har fundet forskriften for funktionen f, som tilfredstiller denne differentialligning. Hvis jeg derimod vil redegøre for, at enhver funktion, der er løsning til differentialligningen er aftagende, hvorledes bør jeg så starte? Jeg kan næsten forestille mig, at jeg skal finde differentialkvotienten, og vise, at denne giver negative værdier?

Svar #1
10. marts 2006 af Carsten_L (Slettet)

I skal selvfølgelig lige se differentialligningen: dy/dx = (-1/2)*(y^2-25)*(1/y)

Når jeg seperere de variable og integrere, får jeg en funktion, hvori der indgår e^(-x) - denne er jo aftagende, så kunne denne være en mulig grund?

Brugbart svar (0)

Svar #2
10. marts 2006 af Dominik Hasek (Slettet)

#0:
Jeg har ondt af dig: ``Jeg er blevet en differentialligning'' ;-)

Er der ikke flere oplysninger? Er der for eksempel angivet et domæne for y?

Husk på, at fortegnet for dy/dx fortæller dig noget om hvorvidt y er aftagende eller voksende, så det er nok at vise, at

dy/dx
= -1/2*(y²-25)*1/y
= -1/2*y + 25/2*y^(-1)

er negativ.

Svar #3
10. marts 2006 af Carsten_L (Slettet)

Ja ok, det første er vist en fejl.

Jo, y er givet ved at være større end 5

Brugbart svar (0)

Svar #4
10. marts 2006 af Dominik Hasek (Slettet)

#3:
Okay, så følger det _meget_ nemt, thi

-1/2 < 0 for y > 5
y²-25 > 0 for y > 5
1/y > 0 for y > 5

og produktet af to positive og én negativ værdi er en negativ værdi (trivielt!), så

dy/dx = -1/2*(y²-25)*1/y

for alle y > 5.

Svar #5
10. marts 2006 af Carsten_L (Slettet)

Selvfølgelig - er dette en metode, man kan bruge generelt når man taler om sådanne analyser af differentialligninger?

Brugbart svar (0)

Svar #6
10. marts 2006 af Dominik Hasek (Slettet)

#5:
Det gælder kun for ordinære differentialligninger af første orden!

dy/dx fortæller dig om hældningen på tangenten -- altså om funktionen er voksende eller aftagende i punktet.

d²y/dx² fortæller dig derimod om krumningen på kurven, som y repræsenterer.

Skriv et svar til: Redegørelse

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.