Matematik
Determinant
13. marts 2006 af
Madsst (Slettet)
Lad A være en n x n matrix. Vis at
det(-A)=-detA for n ulige og detA for n lige.
Nogen der kan give et hint her? Tak.
det(-A)=-detA for n ulige og detA for n lige.
Nogen der kan give et hint her? Tak.
Svar #1
13. marts 2006 af fixer (Slettet)
For n=1 er sætningen åbenbart sand.
For n >= 2 kan man gå frem på følgende måde.
Determinanten af A fremkommer som summen af produkter med n faktorer. Disse produkter er dannet af elementerne i matricen. Hver faktor i et sådant produkt tilhører en række og en søjle, og faktorerne skal vælges således, at produktet indeholder eet element fra hver række og eet element fra hver søjle.
Af denne definition på determinanten af en kvadratisk matrix A følger, at dersom en række (søjle) multipliceres med tallet k, bliver determinanten multipliceret med k. Thi i hvert eneste produkt i produktsummen vil der være netop et element fra den række (søjle), der er multipliceret med k. Derfor er hele produktsummen - og dermed determinanten - multipliceret med k.
Udnyt nu at en matrix -A fremkommer af A ved at multiplicere hver række (søjle) med tallet -k. Determinanten af -A bliver derfor (-1)^n*det(A).
Det ønskede resultat følger da øjeblikkeligt.
Denne her gang har jeg _intet_ forudsat om dit kendskab til determinanter :-)
For n >= 2 kan man gå frem på følgende måde.
Determinanten af A fremkommer som summen af produkter med n faktorer. Disse produkter er dannet af elementerne i matricen. Hver faktor i et sådant produkt tilhører en række og en søjle, og faktorerne skal vælges således, at produktet indeholder eet element fra hver række og eet element fra hver søjle.
Af denne definition på determinanten af en kvadratisk matrix A følger, at dersom en række (søjle) multipliceres med tallet k, bliver determinanten multipliceret med k. Thi i hvert eneste produkt i produktsummen vil der være netop et element fra den række (søjle), der er multipliceret med k. Derfor er hele produktsummen - og dermed determinanten - multipliceret med k.
Udnyt nu at en matrix -A fremkommer af A ved at multiplicere hver række (søjle) med tallet -k. Determinanten af -A bliver derfor (-1)^n*det(A).
Det ønskede resultat følger da øjeblikkeligt.
Denne her gang har jeg _intet_ forudsat om dit kendskab til determinanter :-)
Skriv et svar til: Determinant
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.