Egenværdiproblem

Jeg citerer fra s. 192 i min lærebog i lineær algebra. (E betyder 'element i').

"Egenværdiproblemet går i korthed ud på at besvare spørgsmålet: findes der til en given lineær afbildning f: V --> V et tal lambda E L og en egentlig vektor v E V, så f(v) = lambda*v?

Det geometriske indhold i dette spørgsmål kan uddybes således: findes der i V en linie (dvs. et éndimensionalt underrum), som ved f afbildes ind i sig selv, vil en vektor på linien blive kortere eller længere, og vil billedvektoren have samme eller modsat retning som den oprindelige vektor?

Det bemærkelsesværdige ved egenværdiproblemet er imidlertid ikke, at det er relativt let at formulere (eller at det kan være vanskeligt at løse), men at det dukker op i så mange forskelligartede udgaver, som alle munder ud i den samme algebraiske og/eller numeriske opgave: givet kvadratformet matrix A, find lambda og v, så A*v = lambda*v."

Kilde: Jens Eising; Lineær Algebra; Institut for Matematik, DTU, 1999.

Som kommentar til #1 nævnes, at der i citatet mangler en oplysning, nemlig den, at man med L betegnet legemet, over hvilket vektorrummet V er dannet.

Den gode Eising's forklaringer er nok korrekte, men nu heller ikke helt intuitive.

Det letteste at forstå er nok at sige, at en egenvektor v for en matrix A er en fra nulvektoren forskellig vektor, som ikke roteres når A anvendes på den eller roteres til at pege i den stik modsatte retning af v. v kan ændre længde og/eller få den modsatte retning, men det er også alt hvad der sker med den. Med andre ord findes en konstant k fra legemet L så Av=kv.