Matematik

Definitionsmængde

11. april 2006 af Anna18 (Slettet)

Hej

Jeg har fundet nedenstående funktion i en opgave hvor man skulle løse en differentialligning og bestemme funktionens definitionsmængde.

Funktionen er:
f(x)=(x)^(8) - 36*(x)^(4) + 325

Men hvad er definitionsmængden?

Mvh. Anna

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. april 2006 af Dominik Hasek (Slettet)

Det afhænger af hvilken ring du arbejder i. Dog går jeg ud fra, at domænet for f er R.

Brugbart svar (0)

Svar #2
11. april 2006 af Madsst (Slettet)

Hvad er en ring? Det synes jeg da ikke at have hørt om før.

Brugbart svar (0)

Svar #3
11. april 2006 af fixer (Slettet)

En ring er en dobbeltorganiseret mængde, altså en mængde med to kompositioner sædvanligvis kaldet addition og multiplikation. Man benytter skrivemåden (R,+,.). Såfremt (R,+) er en kommutativ gruppe og (R\\{0},.) en semigruppe, er (R,+,.) en ring. Bemærk, at her betegner '0' nulelementet i (R,+) som ikke nødvendigvis er tallet 0.

Såfremt (R\\{0},.) er en kommutativ gruppe er (R,+,.) et legeme. Heri gælder de kendte forkortningsregler, nulreglen, associativitet og kommutativitet.

Lærer man ikke om det i gymnasiet idag? I min tid havde vi abstrakt algebra i 2g i et ganske udmærket lærebogssystem af Kristensen og Rindung.

Jeg tror i så fald du roligt kan gå ud fra at polynomiet er defineret for alle reelle tal R [(R,+,.) er et eksempel på et legeme].

Svar #4
11. april 2006 af Anna18 (Slettet)

Opgaven lyder:

En funktion f er løsning til differentialligningen

dy/dx=-8*x^3*sqrt(y-1)

og grafen for f går gennem punktet (-2,5).

Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P.

Bestem forskrift og definitionsmængde for f.

Er det korrekt at forskriften for f er:

f(x)=(x)^(8) - 36*(x)^(4) + 325

Jeg har løst opgaven vha. seperation af variable - men jeg synes ikke rigtigt at mit facit kan passe..

Brugbart svar (0)

Svar #5
11. april 2006 af fixer (Slettet)

Drilsk spørgsmål: hvordan har du bestemt f (som jeg ikke har kontrolleret rigtigheden af) uden først at fastlægge dens definitionsmængde?

Løsningskurven skal være kontinuert og differentiabel i et interval omkring det punkt, den kræves at indeholde. Man angiver normalt intervallet så stort som muligt for at fastlægge løsningens maskimale definitionsmængde.

Brugbart svar (0)

Svar #6
11. april 2006 af Madsst (Slettet)

dy/dx=-8x^3sqrt(y-1), y=1 er løsning
S(y-1)^-½dy=S-8x^3dx
-2(y-1)^½=-2x^4+C for y>=1 <=>
(y-1)^½=x^4+c/2,for y>=1
y-1=(x^4+c/2)^2
y=x^8+(c^2/4)-1

Det var hvad jeg fik...

Brugbart svar (0)

Svar #7
11. april 2006 af ibibib (Slettet)

Anna18 har regnet korrekt men mangler Dm(f).

Svar #8
11. april 2006 af Anna18 (Slettet)

#5
Hm.. Kan man ikke det? Det mener jeg ellers at jeg har gjort før...

Du mener altså at man skal fastlægge definitionsmængden udfra differentialligningen? Eller..?

Brugbart svar (0)

Svar #9
11. april 2006 af Draagslag (Slettet)

Man fastsætter værdimængden udfra differentialligningen, og når løsningen til differentialligningen er fundet, bestemmes Dm(f) ud fra værdimængden.

Brugbart svar (0)

Svar #10
11. april 2006 af Draagslag (Slettet)

#9
I stedet for værdimængden kan der stå områder.

Brugbart svar (0)

Svar #11
11. april 2006 af fixer (Slettet)

#8
Du kan ikke fastlægge værdien af integrationskonstanten for den søgte løsning uden at angive gyldighedsområdet for de til denne bestemmelse nødvendige regninger. Dette område er netop definitionsmængden (definitionsområdet). Husk at alle dine regninger kun er gyldige dersom sqrt(y-1) > 0.

Svar #12
12. april 2006 af Anna18 (Slettet)

Hm.. Er ikke helt sikker på at jeg forstår jer.

Kan I ikke forklare mig hvordan jeg skal gøre..

Brugbart svar (0)

Svar #13
12. april 2006 af ibibib (Slettet)

I opgaven står der sqrt(y-1),
dvs y-1>=0.
Derudover må sqrt(y-1) ikke være nul. Det fremgår af sætningen om separation af de variable.

y-1>0 <=> y>1

Da
f(x)=(x)^(8) - 36*(x)^(4) + 325
er større end 1 for alle x er Dm(f)=R

Brugbart svar (0)

Svar #14
12. april 2006 af sigmund (Slettet)

Kvadratrodsleddet i diff.ligningen gør at y skal ligge i intervallet [1,\\infty[; x kan antage alle reelle værdier. Således er definitionsmængden

Dm(f) = {(x,y) E R² | -\\infty < x < \\infty ٨ 1 <= y < \\infty}.

Brugbart svar (0)

Svar #15
12. april 2006 af sigmund (Slettet)

Rettelse til #14:

I stedet for ٨ skal det stå et OG tegn.

Desuden skal y nok være strengt større end 1.

Brugbart svar (0)

Svar #16
12. april 2006 af fixer (Slettet)

#13-14:
Gætter i bare ?

Separation af de variable kan ikke udføres med mindre sqrt(y-1) > 0 => y >1. Det er ikke korrekt at y = x^8-36x^4+325 > 1 for alle x E R.

Undervejs i regningerne støder man på udtrykket

sqrt(y-1) = -x^4 + k, k E R (*)

Idet løsningskurven skal indeholde P(-2,5) fås k=18, men (*) er kun meningsfuld såfremt højresiden er positiv, thi vi kræver jo at sqrt(y-1) > 0.

Hvad bliver definitionsmængden så når man betænker #5 ?

Brugbart svar (0)

Svar #17
12. april 2006 af sigmund (Slettet)

#16, fixer, ja #14 er et gæt, og jeg kan se at gættet er forkert. Det er fordi at jeg ikke har regnet opgaven igennem. Jeg kan se at det ikke er nogen god idé at prøve på at hjælpe, hvis man ikke har regnet opgaven igennem først, så det vil jeg huske til en anden gang.

Brugbart svar (0)

Svar #18
12. april 2006 af ibibib (Slettet)

Jeg gættede ikke, men det gik for stærkt.

Svar #19
17. april 2006 af Anna18 (Slettet)

hm.. hvad er så det rigtige?

Svar #20
17. april 2006 af Anna18 (Slettet)

Hm.. Nu er jeg kommet frem til følgende:

Da reglerne for seperation af variable siger at h (dvs. -8x^3) skal være kontinuert i intervallet I, og g (dvs. sqrt(y-1)) skal være kontinuert og forskellig fra 0 i intervallet J. Derfor er der følgende krav til vores løsningsmængde:

y>1
Idet udtrykket sqrt(y-1) ellers bliver 0 og ikke-kontinuert.

Vha. seperation af de varible får vi ligningen:
f(x)=(x)^(8) - 36*(x)^(4) + 325

Vi undersøger hvor f(x) skærer ligningen y=1:
f(x)=1 <=> x=- sqrt(3)* (2)^(1/(4)) v x= sqrt(3)* (2)^(1/(4))

udfra grafen og ovenstående ligning kan vi se at definitionsmængden for f er:

Alle reelle tal undtagen x=- sqrt(3)* (2)^(1/(4)) og x= sqrt(3)* (2)^(1/(4))

Er dette korrekt?
Og hvordan skriver man definitionsmængden korrekt?

Forrige 1 2 Næste

Der er 23 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.