Matematik

bevis - 2.orden diff.lign.

11. april 2006 af Mig1987 (Slettet)

Hej.

Jeg skal igang med at bevise 2.ordens diff.lign y" = c*y og behøver derfor lidt hjælp.

Jeg skal først vise at der findes/eksisterer løsninger og derefter finde alle løsninger (fuldstændighed. Jeg har vist det sidste med fuldstændighed, men mangler eksistens.

Jeg skal vise at f1(x) = e^kx og f2(x) = e^-kx er løsninger til y" = c*y, c>0 hvis c = k^2

Det jeg er gået igang med er følgende - ved ikke om det er rigtigt, men:
f(x) = e^kx =>
f'(x) = k*e^kx =>
f"(x) = k^2 * e^kx

Hvad skal jeg så? Er gået lidt i stå. Håber, der er nogle, der kan hjælpe mig med at komme videre.
Eller hvis det er forkert, hvad skal jeg så ellers gøre?

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. april 2006 af ibibib (Slettet)

Du mangler kun at sætte ind i differentialligningen.
y'' = c*y <=>
k^2*e^kx = c*e^kx <=>
osv.

Husk at
f(x)= e^(kx) + e^(-kx)
er den fuldstændige løsning

Brugbart svar (0)

Svar #2
11. april 2006 af fixer (Slettet)

#1
Nej. Du glemmer integrationskonstanterne og at det selv da kun vil være den fuldstændige løsning såfremt c>0. For c=0 og c<0 er sagen en anden.

Svar #3
12. april 2006 af Mig1987 (Slettet)

Bliver resten af dette eksistens bevis så følgende:

k^2*e^kx = c*e^kx

da c = k^2:

k^2*e^kx = k^2*e^kx

Brugbart svar (0)

Svar #4
12. april 2006 af ibibib (Slettet)

Ja, men husk rettelserne i #1 og #2.

Brugbart svar (0)

Svar #5
12. april 2006 af sigmund (Slettet)

Jeg ved ikke om det kan hjælpe dig, men tag et kig på

http://mathworld.wolfram.com/OrdinaryDifferentialEquation.html.

Svar #6
12. april 2006 af Mig1987 (Slettet)

Okay, tak.

Svar #7
12. april 2006 af Mig1987 (Slettet)

Så er jeg lige tilbage igen.

Er der nogle, der kan give mig hint til følgende:

Vis at f(x) = c1x+c2 er en løsning til y" = c*y , c=0

Brugbart svar (0)

Svar #8
12. april 2006 af ibibib (Slettet)

Det viser du ved at indsætte f''(x) og f(x) i differentialligningen.

Opgaven ser mærkelig ud: Hvis c=0 er y''=0.

Svar #9
12. april 2006 af Mig1987 (Slettet)

Jeg differentierer f(x) to gange, men kan ikke få det til at passe.

f(x) = c1 * x + c2 =>
f'(x) = c1' * x + c1 *1 + c2 =>
f"(x) = c1" * x+ c1'*1+ c1'*1+c1*0+c2"

er det sådan jeg skal differentiere? Og hvad så bagefter. Forstår det ikke.

Brugbart svar (0)

Svar #10
12. april 2006 af ibibib (Slettet)

Hvis c1 og c2 er konstanter er c1'=0 og c2'=0 og dermed f''(x)=0.

Svar #11
12. april 2006 af Mig1987 (Slettet)

Ahhh.. okay. Takker mange gange for hjælpen ;)

Brugbart svar (0)

Svar #12
12. april 2006 af ibibib (Slettet)

Står der virkelig c=0 i opgaven?

Svar #13
12. april 2006 af Mig1987 (Slettet)

Jep - der står:

Vis at f(x) = c1x+c2 er en løsning til y" = c*y , c=0

Brugbart svar (0)

Svar #14
12. april 2006 af sigmund (Slettet)

#12, hvorfor tror du ikke at der står c = 0 i opgaven? Der kommer nok også en opgave, hvor han skal vise løsningen for c

For c = 0 kan løsningen findes ved integration to gange.

Svar #15
12. april 2006 af Mig1987 (Slettet)

#14 - ja, der er også en opgave med c

Men hvad er det jeg skal integrere to gange for at finde løsningen?

Brugbart svar (0)

Svar #16
12. april 2006 af sigmund (Slettet)

#15.

For c = 0 lyder ligningen y'' = 0.

Ved integration fås

y' = c1.

Integreres en gang til fås

y = c1*x + c2.

Svar #17
12. april 2006 af Mig1987 (Slettet)

Hmm.. undskyld, men forstår ikke lige hvordan du kan finde frem til løsningen ved at integrere y" = 0 to gange ?

Brugbart svar (0)

Svar #18
12. april 2006 af sigmund (Slettet)

Da y'' er lig 0, må y' være lig en konstant c1. Er y' lig en konstant c1, må y være lig c1*x + c2.

Svaret på dit spørgsmål må være: da y ikke indgår på højresiden af '=', kan jeg finde løsningen ved at integrere.

Svar #19
12. april 2006 af Mig1987 (Slettet)

Okay, nu forstår jeg det. Tak.

Skriv et svar til: bevis - 2.orden diff.lign.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.