Matematik

Reduktion

28. oktober 2021 af gavs (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg har en opgave, som ser sådan her ud:

Lad n=km, hvor k og m er naturlige tal, og m er ulige. Vis ved udregning, at der gælder:

$(2^k+1)(2^{km-k}-2^{km-2k}+2^{km-3k}-2^{km-4k}+...+1)=(2^k^m+1)$

Jeg har lavet denne her omskrivning, men er gået i stå undervejs:

$(2^k+1)(2^{km-k}-2^{km-2k}+2^{km-3k}-2^{km-4k}+...+1)=(2^{km}-2^{km-k}+2^{km-2k}-2^{km-3k}+...+2^k)+(2^{km-k}-2^{km-2k}+2^{km-3k}-2^{km-4k}+...+1)=2^k^m+2^k-2^{km-4k}+1$

Hvordan er det lige, jeg kommer videre herfra? Antallet af led i den anden parentes før første lighedstegn er jo m, men hvordan kan jeg bruge det, hvis jeg da kan bruge det her?

Brugbart svar (0)

Svar #1
28. oktober 2021 af peter lind

du har en skrivefejl elle hvad man nu skal kald detI den anden parates indeholder et -2^k som går ud med de 2^k. Ligeledes går de -2^km-4k ud mod de 2^km-4k i føste parantes

Svar #2
28. oktober 2021 af gavs (Slettet)

Nu spørger jeg nok dumt, men hvordan opstår -2^k, hvis jeg ganger parentesen med 1? Er det noget med, at man skal omskrive 1 eller? Jeg kan heller ikke lige se 2^(km-4k) to steder, som du påpeger?

Brugbart svar (0)

Svar #3
28. oktober 2021 af peter lind

Det næstsidste led er -2^k

Svar #4
28. oktober 2021 af gavs (Slettet)

Mener du sådan her:

$(2^k+1)(2^{km-k}-2^{km-2k}+2^{km-3k}-2^{km-4k}+...-2^{k}+1)$

Brugbart svar (0)

Svar #5
28. oktober 2021 af peter lind

Det kaldes en teleskobisk sum.

Bortset fra det første led i den første sum og det sidste led i den anden anden sum er de ens bortset fra fortegnet, der er forskellige.

Svar #6
28. oktober 2021 af gavs (Slettet)

Hmm. Nu får jeg:

$(2^{km}-2^{km-k}+2^{km-2k}-2^{km-3k}+...-2^{2k}+2^k)+(2^{km-k}-2^{km-2k}+2^{km-3k}-2^{km-4k}+...-2^k+1)=2^k^m-2^{km-4k}-2^2^k+1$

Jeg kan ikke rigtig få 2^(km-4k) til at forsvinde.

Svar #7
28. oktober 2021 af gavs (Slettet)

Problemet er vist, at jeg ikke kan finde 2^(km-4k) to steder.

Svar #8
28. oktober 2021 af gavs (Slettet)

Er det fordi, at man siger, at m-4 er 2 efter sidste lighedstegn?

Brugbart svar (0)

Svar #9
28. oktober 2021 af peter lind

nej

Du skal bare skrive et led mere

skriv rækkerne op under hinanden sådan at ens potenser så samme potens står under hinanden

2^km - 2^km-k + 2^km-2k - 2^km-3k + 2^km-4k - .... -2^2k +2^k

+2^km-k - 2^km-2k - 2^km-3k + 2^km-4k -2^k +1

Svar #10
28. oktober 2021 af gavs (Slettet)

Mange tak for hjælpen.

Brugbart svar (0)

Svar #11
28. oktober 2021 af Soeffi

#0.

$(2^k+1)(2^{km-k}-2^{km-2k}+2^{km-3k}-2^{km-4k}+...+1)=$

$\sum_{i=1}^{m}(2^k+1)((-1)^{i+1} \cdot 2^{km-i\cdot k})=$

$- 2^{km} \cdot (2^k+1) \cdot \sum_{i=1}^{m}\left (-2^{-k} \right )^i=$

...geometrisk række...

$2^{km} \cdot (2^k+1) \cdot \frac{1+2^{-km}}{2^k+1}=$

$1+2^{km}$

Brugbart svar (0)

Svar #12
28. oktober 2021 af Soeffi

#11...

$- 2^{km} \cdot (2^k+1) \cdot \sum_{i=1}^{m}\left (-2^{-k} \right )^i=$

...geometrisk række...desuden benyttes, at m er ulige, så (-1)^m+1 = 1...

Skriv et svar til: Reduktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.