Tensor

Tensorer er noget frygteligt noget, og du vil aldrig blive den samme igen hvis du prøver at forstå det skidt :)

Men du har ret. Hvis en vektor er en skalar med en retning, så er en tensor et multidimensionalt array.

Hvis du ved noget om spændingsberegning i konstruktioner vil du med stor sandsynlighed have stødt på begrebet. Måske har du i så fald set spændingskassen: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/8/8d/Stress_tensor.png

Du kan læse om tensorer generelt her:

http://en.wikipedia.org/wiki/Tensor

#1:
Tak for hjælpen. Jeg prøver at se på det.

Hvis der er andre, som kan komme med nyttige indput, er I meget velkomne.

#2
Hvis du kan vente til jeg kommer hjem fra arb. så skal jeg gerne give mig tid til et crash-kursus. Sidst på eftermiddagen eller tidlig aften.

#3:
Det lyder rigtig dejligt!

Hvis det er nemmere for dig, må du også meget gerne skrive det som en note og sendte den til mig, i stedet for at skrive her i forummet (jeg tænker mest af notationsmæssige grunde).

#4:
Jeg skal nok sørge for at den bliver lagt op på siden hvis der bliver frembragt en sådan note :)

Der er mange måder at introducere tensorbegrebet på. Fælles for dem alle er dog, at notationen, som gør flittigt brug af hævede og sænkede indices, hurtigt bliver så tung, at den er aldeles uegnet til dette ASCII-forum. Jeg gjorde et spædt notationsforsøg i tråden
https://www.studieportalen.dk/forum/viewtopic.php?t=208445
og det er håbløst.

Af gemmerne har jeg gravet en oldgammel note frem jeg engang skrev i anden sammenhæng. Den indeholder en ret så kompakt introduktion til tensorer og er på ingen måde fyldestgørende. Den sender jeg til dig via din TeX hjemmeside. Om noten har generel interesse tør jeg ikke sige.

Af notationsmæssige årsager vil jeg her i foraet begrænse mig til en rent overordnet beskrivelse.

Fundamentalt for tensorbegrebet er duale rumpar. Betragt par af n-dimensionale reelle vektorrum (V_1,V¹). Såfremt der findes en bilineær afbildning f af V_1 X V¹ ind i R med linearitetsegenskaberne

1) f(x+y,u) = f(x,u)+f(y,u)
2) f(x,u+v) = f(x,u)+f(x,v)
3) f(ax,u) = f(x,au) = af(x,u)

for alle x,y E V_1, u,v E V¹ og a E R, og man dertil føjer betingelserne

4a) f(a,u) = 0 for alle u E V¹ => a=0 (a E V_1)
4b) f(x,b) = 0 for alle x E V_1 => b=0 (b E V¹)

så kaldes (V_1,V¹,f) et dualt rumpar og f skalarproduktet for det duale rumpar. I stedet for funktionsværdien f(x,u) skrives kort x*u.

Man definerer dernæst duale baser som følger: Lad (V_1,V¹) være et dualt rumpar og (e_i) en basis for V_1. Så findes der netop een basis (e^j) for V¹ sådan at

e_i*e^j = d_i^j (*)

hvor d_i^j er Kroneckers symbol. Det omvendte gælder også: til enhver basis (e^j) for V¹ findes netop een basis (e_i) for V_1 så (*) er opfyldt. Sådanne par af samhørende baser kaldes duale baser.

Og så går det ellers løs. Man betragter nu hvad der sker ved basisskifte mellem par af duale baser. Dertil tænker vi os givet et dualt rumpar (V_1,V¹) og to par duale baser (e_i) dual med (e^j) samt (e_i') dual med (e^j'). Vi skifter nu base fra det umærkede duale par til det mærkede duale par. Basisskiftematricen for skiftet mellem (e_i) og (e_i') i V_1 kaldes A. Det viser sig nu, at det basisskifte, der fremkommer i V¹ når vi skifter fra umærket duale base til mærket dual base, netop er A^(-1). Med andre ord er basisskiftematricen mellem base (e^j) og (e^j') altså den inverse til basisskiftematricen mellem base (e_i) og (e_i').

Såvidt basisskifte. Men hvad med koordinatskifte? Når man skifter base vil elementerne (vektorerne) i V_1 og V¹ jo skifte koordinater. Det viser sig, at et element u E V¹ med gamle umærkede koordinater, ved basisskiftet vil få nye mærkede koordinater som netop fremkommer ved multiplikation af A med de gamle umærkede koordinater. Omvendt vil en vektor x E V_1 med gamle umærkede koordinater ved basisskiftet få nye mærkede koordinater der fremkommer ved multiplikation af A^(-1) med de gamle umærkede koordinater for x.

Elementerne i V¹ kaldes traditionelt kovariante vektorer og elementerne i V_1 for kontravariante vektorer. Begrundelsen for disse udtryk skal søges i ovenstående koordinat- og basisskifterelationer: en kontravariant vektors koordinater transformeres ved reciprokmatricen af matricen hørende til basisskiftet i V_1, mens en kovariant vektors koordinater transformeres ved matricen for basisskiftet i V_1.

Man definerer nu tensorer som multilineære funktioner med argumenter taget fra duale rumpar. Idet vi starter med et dualt rumpar (V_1,V¹) danner vi mængdeproduktet

P = V¹ x V¹ x...x V¹ x V_1 x V_1 x...V_1

hvor V¹ optræder r gange og V_1 optræder s gange. Dernæst betragtes mængden V_s^r bestående af samtlige (r+s)-lineære reelle funktioner på P, d.v.s.

V_s^r = {T | T (r+s)-lineær : P->R}

hvor vendingen (r+s)-lineær blot betyder at T er lineær i hvert argument for sig af de ialt (r+s) argumenter.

Mængden V_s^r kan organiseres til et vektorrum ved at definere hvad man skal forstå ved S+T og aS, hvor a E R, S,T E V_s^r [det er ligeud af landevejen]. Elementerne i vektorrummet V_s^r kaldes tensorer over (V_1,V¹) af type (r,s) af orden r+s, af kontravariant orden r og kovariant orden s.

Man kan herefter gå videre og undersøge tensorfelter over differentiable mangfoldigheder men det skal jeg ikke nyde noget af her i foraet :-)

#6:
Det må jeg nok sige! Det vil jeg sætte mig og læse grundigt igennem, og hvis der opstår problemer, ender jeg sandsynligvis med at spørge igen.

#5:
Takker, send mig gerne den note du har forfattet, så skal jeg lægge den herud, hvis du er interesseret i det selvfølgelig.

#6:
Det var jo det jeg sagde. Noget frygteligt noget. Men fatter man det, så er det ganske praktisk :)