Matematik
Differentialligningsbevis
17. maj 2006 af
Nakita (Slettet)
Jeg skal bevise at f'(x)=kf(x) => f(x)=c*e^(kx)
Antag at f'(x)=kf(x)
Vi indfører h(x)=f(x)*e^(-kx) =>
h'(x)=f'(x)*e^(-kx)+f(x)*(-k)*e^(-kx) <=>
h'(x)=f'(x)*e^(-kx)-k*f(x)*e^(-kx) <=>
h'(x)=f'(x)*e^(-kx)-f'(x)*e^(-kx) <=>
h'(x)=0 <=>
h(x)=c <=>
f(x)*e^(-kx)=c <=>
f(x)=c*e(kx)
Dette er selve beviset. Vi har så også fået forklaret hvorfor man indfører
h(x)=f(x)*e^(-kx), men dette kan jeg ikke huske...
Jeg har følgende stående i mine noter:
f(x)=c*e^(kx) <=>
f(x)/e^(kx)=c <=>
f(x)*e^(-kx)=c <=>
(f(x)*e^(-kx)'=0
Hvorfor er det smart at indføre h(x)? Og hvad betyder det sidste jeg har skrevet?
Jeg har vist forvirret mig selv temmelig meget, og er nu på helt bar bund.
Antag at f'(x)=kf(x)
Vi indfører h(x)=f(x)*e^(-kx) =>
h'(x)=f'(x)*e^(-kx)+f(x)*(-k)*e^(-kx) <=>
h'(x)=f'(x)*e^(-kx)-k*f(x)*e^(-kx) <=>
h'(x)=f'(x)*e^(-kx)-f'(x)*e^(-kx) <=>
h'(x)=0 <=>
h(x)=c <=>
f(x)*e^(-kx)=c <=>
f(x)=c*e(kx)
Dette er selve beviset. Vi har så også fået forklaret hvorfor man indfører
h(x)=f(x)*e^(-kx), men dette kan jeg ikke huske...
Jeg har følgende stående i mine noter:
f(x)=c*e^(kx) <=>
f(x)/e^(kx)=c <=>
f(x)*e^(-kx)=c <=>
(f(x)*e^(-kx)'=0
Hvorfor er det smart at indføre h(x)? Og hvad betyder det sidste jeg har skrevet?
Jeg har vist forvirret mig selv temmelig meget, og er nu på helt bar bund.
Svar #1
17. maj 2006 af sigmund (Slettet)
Jeg ved heller ikke om det er specielt smart. Jeg ville foretække følgende:
Vi betragter en differentialligning på formen
(*) dy/dx + p(x)*y = q(x),
hvor p og q begge er kontinuerte i intervallet I.
Lad P(x) være en stamfunktion til p(x):
P(x) = S p(x)dx, x E I.
Funktionen e^(P(x)) er aldrig 0. Ved at multiplicere med denne på begge sider af '=' i (*) fås
(**) e^(P(x))*dy/dx + e^(P(x))*p(x)*y = e^(P(x))*q(x), x E I.
Ventre side i (**) er differentialkvotienten af et produkt. Vi har
d/dx(e^(P(x))*y) = d/dx(e^(P(x)))*y + e^(P(x))*dy/dx = e^(P(x))*p(x)*y + e^(P(x))*dy/dx.
(**) er således ensbetydende med
(***) d/dx(e^(P(x))*y) = e^(P(x))*q(x), x E I.
De funktioner, der opfylder (***), opfylder også (*). Dvs.
e^(P(x))*y = S {e^(P(x))*q(x)}dx + c.
Ved at multiplicere med e^(-P(x)) fås y:
(++) y = e^(-P(x))*[S {e^(P(x))*q(x)}dx + c], x E I, c E R,
hvor P(x) = S p(x)dx.
Sættes q(x) = 0 i (*), fås
dy/dx + p(x)*y = 0 <=> dy/dx = -p(x)*y.
Med p(x) = -k (=> P(x) = -k*x) haves
dy/dx = k*y.
Indsættelse i (++) giver
y = c*e^(k*x).
Alternativt kan dy/dx = k*y løses ved inspektion:
Den eneste funktion, bortset fra 0-funktionen, der differentieret giver sig selv, er eksponentialfunktionen. Derfor må løsningen til dy/dx = k*y være
(+++) y = c*e^(k*x).
Hvis vi kan besvise, at d/dx(e^(k*x)) er k*e^(k*x), har vi besvist (+++).
---------
Reference:
H. Elbrønd Jensen et.al. Matematisk Analyse 1. Institut for Matematik, DTU, 2000.
Vi betragter en differentialligning på formen
(*) dy/dx + p(x)*y = q(x),
hvor p og q begge er kontinuerte i intervallet I.
Lad P(x) være en stamfunktion til p(x):
P(x) = S p(x)dx, x E I.
Funktionen e^(P(x)) er aldrig 0. Ved at multiplicere med denne på begge sider af '=' i (*) fås
(**) e^(P(x))*dy/dx + e^(P(x))*p(x)*y = e^(P(x))*q(x), x E I.
Ventre side i (**) er differentialkvotienten af et produkt. Vi har
d/dx(e^(P(x))*y) = d/dx(e^(P(x)))*y + e^(P(x))*dy/dx = e^(P(x))*p(x)*y + e^(P(x))*dy/dx.
(**) er således ensbetydende med
(***) d/dx(e^(P(x))*y) = e^(P(x))*q(x), x E I.
De funktioner, der opfylder (***), opfylder også (*). Dvs.
e^(P(x))*y = S {e^(P(x))*q(x)}dx + c.
Ved at multiplicere med e^(-P(x)) fås y:
(++) y = e^(-P(x))*[S {e^(P(x))*q(x)}dx + c], x E I, c E R,
hvor P(x) = S p(x)dx.
Sættes q(x) = 0 i (*), fås
dy/dx + p(x)*y = 0 <=> dy/dx = -p(x)*y.
Med p(x) = -k (=> P(x) = -k*x) haves
dy/dx = k*y.
Indsættelse i (++) giver
y = c*e^(k*x).
Alternativt kan dy/dx = k*y løses ved inspektion:
Den eneste funktion, bortset fra 0-funktionen, der differentieret giver sig selv, er eksponentialfunktionen. Derfor må løsningen til dy/dx = k*y være
(+++) y = c*e^(k*x).
Hvis vi kan besvise, at d/dx(e^(k*x)) er k*e^(k*x), har vi besvist (+++).
---------
Reference:
H. Elbrønd Jensen et.al. Matematisk Analyse 1. Institut for Matematik, DTU, 2000.
Svar #2
17. maj 2006 af Nakita (Slettet)
Ok. Tak for hjælpen.
Jeg printer lige og går beviset igennem. Det kunne være ret fedt hvis jeg stillede mig op til eksamen og kunne fyre det af :D
Tak for hjælpen!
Jeg printer lige og går beviset igennem. Det kunne være ret fedt hvis jeg stillede mig op til eksamen og kunne fyre det af :D
Tak for hjælpen!
Skriv et svar til: Differentialligningsbevis
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.