Matematik

toppunktsformel bevis

19. maj 2006 af Hunden-king (Slettet)

hej..

jeg sidder og prøve komme frem til toppunktsformlen med hjælp fra andengradsformlen - ax^2+bx+c.
men jeg kan ikke rigtig få det til at gå op.

Nogen der kan hjælpe??

Brugbart svar (0)

Svar #1
19. maj 2006 af lany (Slettet)

Der findes forskellige beviser. Har du lært at differentiere?

Svar #2
19. maj 2006 af Hunden-king (Slettet)

nej, det tror jeg ikke.. er der en måde hvor man ikke skal bruge det..?

Brugbart svar (0)

Svar #3
19. maj 2006 af lany (Slettet)

Ja, men kan du ikke prøve at skrive lidt om, hvad du har forsøgt? Hvilken klasse går du i? Hvis det er 2. eller 3.g har du nok lært at differentiere.

Svar #4
19. maj 2006 af Hunden-king (Slettet)

okay..

f(x) = ax^2+bx+c
f(x) = a(x^2+b/2a+c/a)
f(x) = a(x+b/2a)^2+b/4a+c/a
f(x) = a(x+b/2a)^2+b/4a+c/4*4a

og så kan jeg ikke komme videre..

Brugbart svar (0)

Svar #5
19. maj 2006 af KV (Slettet)

Du skal helt væk fra den der. Ihvertfald sådan som vi har lært den.

ax^2+bx+c <=> y=a(x-p)^2+q
Vi vil gerne finde parablens toppunkt (p,q)

a(x-p)^2+q --Brug produktreglen
a(x^2+p^2-2px)+ q -Gang ind i parentes
ax^2+ap^2-2pax+q
ax^2-pax+ap^2+q

Vi sammenligner koefficienter med ax^2+bx+c

Andengradsleddet: a = a
Førstegradsleddet: b = -2pa
Konstanten: c = ap^2 + q

Her kan vi altså find p og q:

P: b = -2pa <=> p = b/-2pa

Q: c = ap^2+q <=> q= c-ap^2 <=>
q = c-a(b/-2pa)^2 <=> q= c-a(b^2/4a^2) <=> q=c - ab^2/4a^2 <=>
Q = c- B^2/4a <=> (((c=4ac/4a)))
q=4ac-b^2/4a <=> q = -(b^2+4ac)/4a

q= -d/4a

Brugbart svar (0)

Svar #6
19. maj 2006 af Sansnom (Slettet)

Her er et alternativt bevis - mere grafisk, men efter min mening også mere elegant. Specielt skal man ikke først argumentere for at grafen for y=a(x-p)^2+q har toppunkt i (p,q).

f(x)=ax^2+bx+c

Tegn en skitse af grafen for f(x) (en parabel) og den rette linie y=c. De skærer hinanden to steder.

Løs f(x)=c for at finde de to skæringer.

f(x)=c
<=> ax^2+bx=0
<=> x(ax+b)=0
<=> x=0 v x=-b/a

Pga symmetri er x-koordinaten for toppunktet netop midt mellem disse to x-værdier. Heraf ses, at xToppkt= -b/(2a).

For at finde y-værdien indsættes denne x-værdi:

f(xToppkt)
= a(-b/(2a))^2 + b(-b/(2a)) +c
= ab^2/(4a^2)-b^2/(2a)+c
= b^2/(4a)-2b^2/(4a)+4ac/(4a)
= (-b^2+4ac)/(4a)
= -(b^2-4ac)/(4a)
= -d/(4a)

Brugbart svar (0)

Svar #7
22. maj 2006 af stumpL (Slettet)

#6
har et spørgsmål..

f(xToppkt)
= a(-b/(2a))^2 + b(-b/(2a)) +c
= ab^2/(4a^2)-b^2/(2a)+c

= b^2/(4a)

= (-b^2+4ac)/(4a)
= -(b^2-4ac)/(4a)
= -d/(4a)

Brugbart svar (0)

Svar #8
08. juni 2006 af mathjælp (Slettet)

#6
Enig, det er det letteste/bedste bevis jeg har set.

Jeg forstår ikke denne her helt:
"Pga symmetri er x-koordinaten for toppunktet netop midt mellem disse to x-værdier. Heraf ses, at xToppkt= -b/(2a)."
Kan du/andre ikke uddybe en smule?

Er f(xToppkt) = 0?

#7
4ac/4a = c, så han forlænger bare brøken.

Brugbart svar (0)

Svar #9
08. juni 2006 af Waterhouse (Slettet)

#8: Parablen er symmetrisk omkring sit toppunkt - hvis den ene rod f.eks. har et x-koordinat der er 3 større end toppunktets x-koordinat, vil den anden rod have et der er tre mindre.

I #6 har vi fundet de to rødder, og ved så, at toppunktet må ligge lige mellem disse to rødder - så vi finder så at sige gennemsnittet af 0 og -b/a, hvilket er -b/2a.

Brugbart svar (0)

Svar #10
08. juni 2006 af mathjælp (Slettet)

#9

Ahhh smart!

Tak for hjælpen, alle.

Brugbart svar (0)

Svar #11
19. juni 2006 af thejoke (Slettet)

f(x)=c
<=> ax^2+bx=0
<=> x(ax+b)=0
<=> x=0 v x=-b/a

Det kan godt være det er fordi det er sent, men hvordan kommer man fra
<=> x(ax+b)=0
til
<=> x=0 v x=-b/a

Specielt x=-b/a
Jeg kan ikke se det... :S

Brugbart svar (0)

Svar #12
19. juni 2006 af fixer (Slettet)

#11
Vink: nulreglen gælder i ethvert legeme, specielt de reelle tal.

Skriv et svar til: toppunktsformel bevis

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.