Matematik
Bevis for en fjerdegradsfunktion og det gyldne snit
20. maj 2006 af
chrisjorg (Slettet)
Hej,
jeg sidder med en svær opgave:
bevis at det altid gælder for en fjerdegradsfunktion/ligning, der skæres af en linje dannet imellem fjerdegradsligningens to vendetangenter i punkterne Q, R (de to vendetangenter), P, S danner det gyldne snit: PQ:QR:RS
Der er et billede her
http://my.nctm.org/eresources/view_article.asp?article_id=7016&page=2#
Det jeg ved er. Hvis vi finder rødderne til fjerdegradsligningens f''(x) får vi vendetangenternes koordinater. Disse to punkter danner en linje der bestemmes på baggrund af hældningen mellem de to punkter, og dermed har man en førstegradsligning, der kan sættes lig med f(x) for dermed at få en ny fjerdegradsligning, hvis FIRE rødder er punkterne Q,R,P,S.
Dernæst finder man modulus PQ,QR,RS. Man vil opdage at PQ=RS, og at QR (afstanden mellem de to vendetangenter) er lidt større. Da PQ=RS kan PQ sættes lig med 1, dvs: PQ/PQ, QR/PQ, RS/PQ, og så vil QR/PQ=1.618 hvilket er det gyldne snit.
Nu skal jeg således bevise at dette gælder for alle slags fjerdegradsligninger.
Nogen der har et forslag?
jeg sidder med en svær opgave:
bevis at det altid gælder for en fjerdegradsfunktion/ligning, der skæres af en linje dannet imellem fjerdegradsligningens to vendetangenter i punkterne Q, R (de to vendetangenter), P, S danner det gyldne snit: PQ:QR:RS
Der er et billede her
http://my.nctm.org/eresources/view_article.asp?article_id=7016&page=2#
Det jeg ved er. Hvis vi finder rødderne til fjerdegradsligningens f''(x) får vi vendetangenternes koordinater. Disse to punkter danner en linje der bestemmes på baggrund af hældningen mellem de to punkter, og dermed har man en førstegradsligning, der kan sættes lig med f(x) for dermed at få en ny fjerdegradsligning, hvis FIRE rødder er punkterne Q,R,P,S.
Dernæst finder man modulus PQ,QR,RS. Man vil opdage at PQ=RS, og at QR (afstanden mellem de to vendetangenter) er lidt større. Da PQ=RS kan PQ sættes lig med 1, dvs: PQ/PQ, QR/PQ, RS/PQ, og så vil QR/PQ=1.618 hvilket er det gyldne snit.
Nu skal jeg således bevise at dette gælder for alle slags fjerdegradsligninger.
Nogen der har et forslag?
Svar #1
21. maj 2006 af Sansnom (Slettet)
Du har sådan set selv givet svaret - du mangler blot at lave regnerier.
Jeg antager, at du har et CAS værktøj til din rådighed.
1. Lav funktionen f(x).
2. Lav en ny funktion g(x)=f''(x)
3. Løs g(x)=0 - det giver 2 x-værdier, lad os kalde dem xQ og xR.
4. Beregn de tilhørende y-værdier.
... yQ=f(xQ) og yR=f(xR).
5. Lav en funktion for den rette linie gennem disse to punkter.
... h(x) = yQ + (yQ-yR)/(Q-R) *(x-Q)
6. Løs f(x)=h(x). Dette giver 4 løsninger, hvoraf de to er xQ og xR. Kald de to nye løsninger for xP og xS.
7. Udregn (xR-xQ)/(xQ-xP) og (xR-xQ)/(xS-xR). De skulle gerne begge give den gyldne snit.
Prøv om ikke du kan lave dette i dit CAS-værktøj. Hvis det kniber, så skriv igen.
Jeg antager, at du har et CAS værktøj til din rådighed.
1. Lav funktionen f(x).
2. Lav en ny funktion g(x)=f''(x)
3. Løs g(x)=0 - det giver 2 x-værdier, lad os kalde dem xQ og xR.
4. Beregn de tilhørende y-værdier.
... yQ=f(xQ) og yR=f(xR).
5. Lav en funktion for den rette linie gennem disse to punkter.
... h(x) = yQ + (yQ-yR)/(Q-R) *(x-Q)
6. Løs f(x)=h(x). Dette giver 4 løsninger, hvoraf de to er xQ og xR. Kald de to nye løsninger for xP og xS.
7. Udregn (xR-xQ)/(xQ-xP) og (xR-xQ)/(xS-xR). De skulle gerne begge give den gyldne snit.
Prøv om ikke du kan lave dette i dit CAS-værktøj. Hvis det kniber, så skriv igen.
Svar #3
21. maj 2006 af Sansnom (Slettet)
Hmm, og i 1 er f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e, da du skal vise det for et vilkårligt 4. gradspolynomium.
Skriv et svar til: Bevis for en fjerdegradsfunktion og det gyldne snit
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.