Matematik

Differentialkvotient

21. maj 2006 af stumpL (Slettet)

Skal jo til mundtlig matematik og er ved at lave en lille bog med definitatoner, sætninger og beviser for hvert emne som er opgivet.

Er nu kommet til differentialkvotient.
Hvordan ville I forklare hvad en differetialkvotient er??
ville I bare sige at stigningstallet for grafens tangent i Po(xo;yo) er funktionens diff.kvotient i xo og betegnes f'(xo).

Hvad ville I lave beviser over?
måske:
-tangentensligning
-regneregler for diff.kvotient
???

Brugbart svar (0)

Svar #1
21. maj 2006 af Sansnom (Slettet)

Jeg ville nok,

1) Tegne en graf med sekanter og vise, at sekantens hældning er (f(x+h)-f(x))/h.

2) Derefter forklare, at tangenten er grænsen for sekanterne - og derved vise, at tangentens hældning er differentialkvotienten - dvs, differenskvotienten, når h->0 (eller x->x0 afhængigt af notation).

3) Give et simpelt eksempel på brug af 3-trinsreglen - f.eks. vise, hvordan f(x)=ax^2 differentieres (eller sqrt(x), hvis du har et højere ambitionsniveau, pas dog på med tiden).

4) Forklare, at det ville blive for besværligt, hvis man skulle igennem hele dette maskineri for enhver funktion, hvorfor en række regler er praktiske.

5) Nævne, at der er regler for f+g, f-g osv.

6) Bevise enten f+g, f*g eller f/g afhængigt af ambitionsniveau.

Hvis du skal nå alt dette, skal du have 100% styr på stoffet og kunne arbejde i højt tempo.

Svar #2
21. maj 2006 af stumpL (Slettet)

#1
1) og 2) har jeg aldrig lavet...

Brugbart svar (0)

Svar #3
21. maj 2006 af ibibib (Slettet)

Måske kalder i differenskvotienten for
(y-y0)/(x-x0)?

Svar #4
21. maj 2006 af stumpL (Slettet)

(f(x)-f(x0))/x-x0 = f'(x)

Svar #5
21. maj 2006 af stumpL (Slettet)

dvs. stigningstallet for sekantens hældning er diff.kvotienten ?

Brugbart svar (0)

Svar #6
21. maj 2006 af Sansnom (Slettet)

#5 Ja.

#2 Ok, så er det ikke sikkert, du har lyst til at lave det til eksamen. Her er dog alligevel en lidt mere uddybende forklaring, som du så kan bruge eller lade være.

Tegn en graf. Afsæt et punkt (x0, f(x0)) og et andet punkt (x,f(x)) (hvor x<>x0)

Tegn den rette linie gennem disse to punkter. Denne linie kaldes en sekant. Du kan let indse, at dens hældning er (f(x)-f(x0))/(x-x0). Dette er sekantens hældning - eller differenskvotienten.

Flyt nu x tættere på x0, så bliver der en ny sekant. Tættere på endnu - ny sekant. Når x kommer helt tæt på x0 (vi siger, at x går mod x0), så bliver sekanten til en tangent.

Det er netop derfor, at tangentens hældning (differentialkvotienten) findes ved at lade x gå mod x0.

Brugbart svar (0)

Svar #7
21. maj 2006 af Sansnom (Slettet)

Bemærk forskellen

differenskvotient er for sekant
differentialkvotient er for tangent

Brugbart svar (0)

Svar #8
21. maj 2006 af Ivan Baso (Slettet)

Noget jeg aldrig rigtig har forstået er begrebet når x er gående mod x0 eller når x er gående mod 0 eller mod uendelig. Er der ikke en, som på lavt niveau kan forklare mig det og betydningen af det. Ville være en stor hjælp.

Brugbart svar (0)

Svar #9
21. maj 2006 af lany (Slettet)

#4 og #5: Ikke helt. Differentialkvotienten er den grænseværdi, som sekanternes hældninger (differenskvotienterne) nærmer sig, når x går mod x0.

Derved bliver differentialkvotienten hældningen af tangenten i x=x0.

Svar #10
21. maj 2006 af stumpL (Slettet)

det der er opgivet om diff.kvotient er fra 1.g bogen så tror ikke jeg vil snakke om sekantens hældning, men blot tangenten..

Brugbart svar (0)

Svar #11
21. maj 2006 af Ivan Baso (Slettet)

Skriv et svar til: Differentialkvotient

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.