Matematik

bevis for ln(a*b)=ln(a)+ln(b)

28. maj 2006 af Skuli (Slettet)

Hej

Så stødte jeg ind i endnu et lille problem.
I mit bevis i mine noter for reglen:

ln(a*b)=ln(a)+ln(b)

bruger jeg

g(x)=ln(ax)-ln(x)

for at komme frem til det, er der nogen forklaring på det, eller bruger jeg blot den funktion for at vise reglen?

Håber nogen kan hjælpe, sig endelig til hvis jeg skal skrive hele beviset

Brugbart svar (0)

Svar #1
28. maj 2006 af Benjamin. (Slettet)

Du kan bruge:
a = ln(e^a)

ln(a·b) = ln(e^ln(a)·e^ln(b)) = ln(e^(ln(a)+ln(b))) = ln(a)+ln(b)

Svar #2
28. maj 2006 af Skuli (Slettet)

Ja, det står også i min bog, men nu har vi jo brugt det andet i undervisningen, så det er nok smartest at holde fast i det...

Brugbart svar (0)

Svar #3
28. maj 2006 af Benjamin. (Slettet)

#2 Det bevis kender jeg ikke. Prøve at skrive det.

Brugbart svar (0)

Svar #4
28. maj 2006 af Benjamin. (Slettet)

#3 *Prøv

Svar #5
28. maj 2006 af Skuli (Slettet)

Ok, her kommer det
g(x) =ln(ax)-ln(x)
g'(x)=(1/ax)*a-(1/x)
=(a/ax)-(1/x)
=(1/x)-(1/x)
=0 for alle x
g(x) = k
-> ln(ax)-ln(x)=k
så sætter jeg x=1 og får:
ln(a)=k
og så
ln(ax)-ln(x)=ln(a)
ln(ax)=ln(a)+ln(x)
erstatter så x med b og får
ln(ab)=ln(a)+ln(b)

Brugbart svar (0)

Svar #6
28. maj 2006 af Benjamin. (Slettet)

#5 Ok. Så kan jeg desværre ikke hjælpe. Jeg har endnu ikke lært at differentiere.

Brugbart svar (0)

Svar #7
28. maj 2006 af Waterhouse (Slettet)

#0: Jeg kender godt beviset, men jeg er ikke helt sikker på jeg forstår spørgsmålet. Man vælger bare at definere g(x) som man gør, fordi det gør det muligt at lave nogle omskrivninger og udregninger der beviser reglen, ja.

Svar #8
28. maj 2006 af Skuli (Slettet)

Ja, altså spørgsmålet er bare om jeg bare bruger g(x) for at vise reglen, altså der er ikke nogen anden forklaring på det? Jeg vil bare nødig stå til eksamen imorgen og blive spurgt hvorfor jeg bruger g(x) hvis der nu var en grund til det. Kunne nemlig heller ikke se hvor jeg skulle få det fra, hvis ikke det var fordi det bare var for at påvise reglen.
Håber du forstår hvad jeg mener

Brugbart svar (0)

Svar #9
28. maj 2006 af Waterhouse (Slettet)

Jep. Du indfører den pågældende funktion, fordi den er nyttig for at vise reglen.

Brugbart svar (0)

Svar #10
28. maj 2006 af mathon

definition på ln(x):
ln(x)=S1/t*dt(fra 1 til x)

ln(x1*x2)=S1/t*dt(fra 1 til x1*x2)

ifølge indskudsreglen gælder
ln(x1*x2)=S1/t*dt(fra 1 til x1*x2)=

S1/t*dt(fra 1 til x1)+S1/t*dt(fra x1 til x1*x2)
i det sidste integral S1/t*dt(fra x1 til x1*x2) substitueres

u=t/x1 og dermed t=u*x1, hvoraf du/dt=1/x1 eller dt=x1du som giver
S1/(u*x1)*x1*du(fra 1 til x2) (med substituerede grænser) =
S1/u*du(fra 1 til x2)=S1/t*dt(fra 1 til x2) (variabelbetegnelsen u eller t naturligvis er ligegyldig)
Resultat
ln(x1*x2)=S1/t*dt(fra 1 til x1*x2)=
S1/t*dt(fra 1 til x1)+S1/t*dt(fra 1 til x2)=ln(x1)+ln(x2)
eller
i kort form
ln(x1*x2)=ln(x1)+ln(x2)

Brugbart svar (0)

Svar #11
28. maj 2006 af sigmund (Slettet)

Jeg vil endnu engang gentage Einsteins ord: Everything should be made as simple as possible, but no simpler.

På den baggrund ville jeg foretrække metoden i #1.

Brugbart svar (0)

Svar #12
03. juni 2013 af Cedzi (Slettet)

Nogen, der kan forklare hvorfra der fås substitutionen u=t/x1??

Brugbart svar (0)

Svar #13
03. juni 2013 af Andersen11 (Slettet)

#12

Man definerer den naturlige logaritmefunktion ln(x) for x > 0 ved

ln(x) = ₁∫^x (1/t) dt ,

og vi ser nu på udtrykket for ln(a·b) , hvor a > 0 og b > 0 :

ln(a·b) = ₁∫^ab (1/t) = ₁∫^a (1/t) dt + _a∫^ab (1/t) dt .

Det første integral genkendes som ln(a) . I det sidste integral foretager man en substitution u = t/a . Da t løber fra a til ab , vil u = t/a løbe fra 1 til b , og med den substitution har vi dt = a du og (1/t) = (1/a)·(1/u), hvorfor vi har

_a∫^ab (1/t) dt = ₁∫^b (1/a)·(1/u)·a du = ₁∫^b (1/u) du = ln(b) .

Derfor har vi

ln(a·b) = ₁∫^a (1/t) dt + _a∫^ab (1/t) dt = ₁∫^a (1/t) dt + ₁∫^b (1/u) du = ln(a) + ln(b)

Brugbart svar (0)

Svar #14
03. juni 2013 af Cedzi (Slettet)

Ja, jeg forstår det hele.. Det eneste jeg bare ikke forstår er hvor man får u=t/a fra.. Kan sagtens vise beviset ved brug af substitutionen, men virker bare lidt dumt, hvis jeg ikke kan forklare hvorfor jeg substituerer med u=t/a :<

Brugbart svar (0)

Svar #15
03. juni 2013 af Andersen11 (Slettet)

#14

Det motiveres jo af, at man ønsker at lave grænserne om (fra a til ab) til at starte med 1, så man kan udtrykke det sidste integral ved ln-funktionen. Det opnås ved at dividere den variable med a, derfor u = t/a .

Brugbart svar (0)

Svar #16
03. juni 2013 af Cedzi (Slettet)

Arg selvfølgelig! det er jo logisk.. jeg takker mange gange! :)

Skriv et svar til: bevis for ln(a*b)=ln(a)+ln(b)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.