Side 2 - Sinus og Cosinus

Er der en venlig sjæl, som kan forklare mig det i en meget brugervenlig form og evt. give mig nogle små opgaver? :)

Anybody?

Anybody?

Jeg vil starte med at foreslå, at du tegner det, hvis du ikke kan se det for dig, tag dig god tid om at læse det igennem, og læs det eventuelt flere gange.

Hvis man tager udgangspunkt i en cirkel, placeret i et koordinatsystem med centrum i punktet (0,0), som vi kalder O og en radius på 1 (denne cirkel kaldes enhedscirklen). Derefter tegner du en halvlinje som også går ud fra O. Linjen vil skære enhedscirklen i et punkt; kald dette punkt for A og et anden punkt (1,0) for B. Det er vinkelen AOB (A kaldes retningspunkt til vinklen), som man arbejder med. 1.-koordinatet til A er cosinus til vinkelen eller cos(v) og 2.-koordinatet er sinus til vinkelen eller sin(v). Du kan huske dette fordi x kommer før y i alfabetet ligesom c i cosinus kommer før s i sinus i alfabetet. Af Pythagoras’ sætning kan man finde:
(sin(v))² + (cos(v))² = 1
Denne formel kalder man for idiotformlen.

Hvis du har en retvinklet trekant med den ene katete liggende på 1.-aksen (og på den positive del af denne) i koordinatsystemet og med startpunkt i O, og du har hypotenusen liggende i førstekvadrant også med startpunkt i O, så kan du se at trekantens hypotenuse eller dennes forlængelse skærer enhedscirklen (skæringspunktet kalder du her for A, altså retningspunktet for vinkel AOB). Hvis du tegner en streg fra A vinkelret ned på 1.-aksen og dermed parallel med 2.-aksen, så har du sin(v) og optegner du cos(v) på 1.-aksen, så har du også her en retvinklet trekant. Denne trekant er ensvinklet med den anden og heraf kan du udlede:
cos(v) = (hosliggende katete)/(hypotenusen)
sin(v) = (modstående katete)/(hypotenusen)

Tangens til en vinkel er defineret: tan(v) = sin(v)/cos(v)
Ved at indsætte de to forrige ligninger i definitionen for tangens, kan du udregne en tredje:
tan(v) = (modstående katete)/(hosliggende katete)
Tangenten til cirklen i punktet B er vinkelret på 1.-aksen. Hypotenusen i førstnævnte trekant eller dennes forlængelse skærer også tangenten. Prøv også her at bruge de ensvinklede trekanter.

Når man snakker og cosinus- og sinusrelationerne er det for en vilkårlig trekant.
Sinusrelationerne:
sin(A)/a = sin(B)/b = sin(C)/c
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)
Cosinusrelationerne:
a² = b² + c² - 2bc•cos(A)
b² = a² + c² - 2ac•cos(B)
c² = a² + b² - 2ab•cos(C)
cos(A) = (b² + c² - a²)/(2bc)
cos(B) = (a² + c² - b²)/(2ac)
cos(C) = (a² + b² - c²)/(2ab)
Du kan finde beviserne for disse ved at søge på Internettet eller læse om dem i bøger, men du kan også selv prøve at bevise dem. Du skal bruge de fundne regler om cosinus og sinus i retvinklede trekanter og så skal du opdele beviset i to tilfælde. 1 hvor højden falder uden for trekanten; hertil skal du vide at sin(v) = sin(180-v) og cos(180-v) = -cos(v); dette kan du også selv se ud fra enhedscirklen. 2 hvor højden falder indenfor trekanten; til det deler du trekanten i to retvinklede trekanter (hvilket du også gør ved 1. tilfælde blot på en anden måde).
Igen vil jeg foreslå, at du læser det igennem flere gange og grundigt. Tegn det eventuelt.
Jeg håber, det kan bruges. Hvis der er spørgsmål eller jeg har lavet fejl, så må du(/I) lige sige til.