raketforsøg

Godt spørgsmål! Hvis man vil have meget fart på hurtigt, er det bedst at smide alle kasser på én gang - og kaste dem så hårdt som muligt den anden retning!

Det kan vi vise ud fra nogle generelle overvejelser om bevarelse af bevægelsesmængde (momentum).

Antag, at raketten med masse M til tiden t bevæger sig med farten v. Tilvæksten i bevægelsesmængde for raketten i et tidsrum delta t er da:

delta P_r=delta(Mv)=delta(M)*v + M*delta(v).

Tilsvarende kan vi beregne for den masse (udstødning, kasser og deslige) som raketten udstøder den anden vej. Hvis vi lader u betegne den relative fart af udstødningen
(med fortegn), så er farten i forhold til os givet ved v-u.

Altså er tilvæksten i bevægelsesmængde for udstødningen

P_u= -delta M*(v-u)

Fortegnet skal naturligvis med; der er tale om bevægelse modsat rakettens retning.

Eftersom ændringen i bevægelsesmængde m.h.t. tiden skal være nul ses, ved division med tiden delta t (så vi faktisk kigger på de involverede kræfter) at

(delta Mv)/(delta t)+M*(delta v)/(delta t)-(delta M)/(delta t)(u-v)=0

Ved at flytte rundt og lade delta t gå mod nul når vi frem til en differentialligning:

M*dv/dt=-u*dM/dt.

Nu er det lettere at tage stilling til dit spørgsmål. Vi ser, at hvis den relative fart u i forhold til raketten er nul, så kommer vi ingen vegne. Det er altså et krav at vi "kaster" kasserne ud med en vis fart (i retning modsat bevægelsen). Ydermere, hvis ændringen i rakettens masse er stor m.h.t. tiden, ja så oplever vi kraftig acceleration. Det er dog ikke hele historien. Hvis vi løser ovenstående differentialligning og antager v(0)=0, så fås:

v(t) = -u*ln(M(t))+ln(M(0))*u

Det ses, at så længe vi bare sørger for at smide den samme masse, så må slutfarten være den samme.

vh,

Anders

Hov ja, det skulle jeg måske lige have sagt.. I ovenstående står faktisk blot, at kraften, som virker på raketten er lig farten af udstødningen multipliceret med ændringen i massen. Det er klart, at vi kan tilføje yderligere led for ydre kræfter, f.eks. tyngdekraften (det er ret relevant). Det kan du evt. eksperimentere med.

tak for det lange svar

hvad betyder de der "_" du bruger.

fx delta p_r?

men yderligere spørgsmål:

hvis vi nu siger at jeg bruger impulsbevarelsen så gælder:

m1*v1 = m2 * v2

m2 er massen af raketten
v2 er rakettens fart
v1 er farten på kassen
m1 er massen af kassen

hvis jeg nu smider alle kasser ud på engang med farten v1

vil jeg få en stor v2

men hvis jeg smider dem en af gangen får jeg en en n gange så lille v2, hvor n er antallet af kasser. kan man så ikke bare sige at når jeg lægger alle v2 sammen (dvs. n gange) så giver farten det samme begge steder,

hvorfor det er ligemeget om jeg smider 5 kasser ud på en gang, eller smider dem en af gangen??

kan det passe?

For det første - mine "_" betyder indeks, altså r for raket, u for udstødning o.s.v.

Jeg kan prøve at forklare dit tilfælde - det diskrete tilfælde. Lad os for simpelhedens skyld antage, at rakettens begyndelsesfart er nul. Vi smider nu kasser ud en efter en og er interesserede i, hvad hastigheden egentlig er efter n kasser er kastet ud. Vi kan opstille problemet som en differensligning, idet v(n) betegner farten af raketten efter n kasser er smidt ud, M er begyndelsesmassen af raketten og u er den relative fart, hvormed kasserne kastes ud:

v(n)-v(n-1)=m*(u+v(n-1))/(M-n*m).

Ovenstående ligning kræver en forklaring. Hvis vi betragter farten efter den n'te kasse er smidt ud kan vi beregne tilvæksten i fart, ganske enkelt ved at bruge impulsbevarelse.

Vi skriver u+v(n-1) for at fastholde den relative fart i forhold til rakketten. Hvis raketten har farten v(n-1), skal vi kaste kasserne endnu hurtigere for at opnå samme relative fart.

Et program som f.eks. Maple kan løse denne rekurrensrelation og vi får

v(n)=n*m*u/(M-n*m).

Ikke overraskende er dette faktisk det samme, som hvis du kaster alle n kasser på én gang, eftersom

(M-n*m)*V=n*m*u <=>

V=n*m*u/(M-n*m).

Det er i hvert fald en mulig måde at forklare sagen på...

så hvis jeg forstår sagen ret bliver resultatet det samme om man smider n kasser på én gang, eller kaster de n kasser en efter en?

Jeps.

En opgave fra min gamle mekanik bog:

N mænd hver med masse m hopper af en vogn med masse M. De hopper af med hastigheden u i forhold til vognen.

a. Hvad er hastigheden af vognen, hvis alle mænd hopper af samtidig?

b. Hvad er sluthastigheden af vognen, hvis de hopper af en ad gangen?

Løsningen findes her:

http://www.dfi.aau.dk/~kimh/111og112/111og112/node36.html

Så vidt jeg kan se, skyldes forskellen antagelsen om den relative fart.

Jeg forstår ikke rigtig at man skal bruge u+v(n-1) som den fastholdte relative fart. Er det ikke u selv, der er denne fart, hvis man antager at raketmotoren kaster alle kasserne med samme relative fart u?

Nej, det er vist også noget pjat. Jeg var for doven til at sætte mig ned og overveje differensligningen fra bunden af... så min forklaring er ikke så overbevisende :)

Her følger en "ny og forbedret" udgave.

Vi ser ganske på enkelt på tilvæksten i bev. mængde mellem affyringen af den n-1'te kasse og n'te kasse. For raketten er tilvæksten i bevægelsesmgd. givet ved, idet M er begyndelsesmassen af raketten

(M-n*m)*v(n)-(M-(n-1)*m)*v(n-1).

Af bevarelse følger, den samlede tilvækst i bevægelsesmængde er nul;
eftersom vi for kassen har m*u, hvor u (ganske rigtigt) er den relative fart og m er masse af kassen fås

(M-n*m)*v(n)-(M-(n-1)*m)*v(n-1)=
m*u

Løs denne differensligning og vi får det ønskede resultat, nemlig

v(n)=n*m*u/(M-n*m).