udledelse af parabels toppunkt

Og hvis forummet havde haft mulighed for det, skulle den være lavet til en "sticky"!

Jeg foretrækker personligt et lidt andet bevis (idet vi slet ikke taler om at bevise det vha differentialregning).

Tegn en parabel y=ax^2+bx+c samt den vandrette linie y=c.

Løs skæring af disse to grafer.
c=ax^2+bx+c
<=>
0=x(ax+b)
<=>
x=0 v x=-b/a

Da en parabel er symmetrisk omkring sit toppunkt er toppunktets x-værdi midt mellem x=0 og x=-b/a. Dvs, at xT = -b/(2a).

Hermed er
yT = axT^2+bxT+c
= a(-b/(2a))^2 + b(-b/(2a))+c
= b^2/(4a) -2b^2/(4a) + 4ac/(4a)
= (-b^2+4ac)/(4a)
= -d/(4a).

#2: ..et elegant bevis, der kun kan varmt anbefales, hvis læreren ikke insisterer på KVADRATKOMPLETTERINGSMETODEN i #1!!!

sorry -
KVADRATKOMPLETTERINGSMETODEN i #0!!!

eller måske...

når grafen, F, for funktionen
y=f(x)
parallelforskydes efter parallelforskydningsvektor [a,b], afbildes xx’ og yy’ med
sammenhængen
x’=x+a eller x=x’-a
og
y’=y+b eller y=y’-b
og
y’-b=f(x’-a)
eller
grafen F’: y’= f(x’-a)+b

ofte gider man – når ovenstående er indset – ikke længere skrive alle de ”mærker” =’ på x-erne og y-erne og skriver derfor bare
udtrykket
y= f(x-a)+b for den parallelforskudte graf.

Hvis funktionen før parallelforskydningen specifikt
er
y=Ax^2
bliver
grafen for den parallelforskudte parabel
y=A(x-a)^2-b eller reduceret til Ax^2+(-2aA)x+(Aa^2+b)

Hvis vi ønsker formen y=Ax^2+Bx+C
Skal
B= -2aA eller a= -B/(2A)
og
C= Aa^2+b eller b=C- Aa^2,
Der efter indsættelse af udtrykket for a
Giver
C-A*(-B/(2A))^2 eller C/1-A*B^2/(4A^2)=

4AC/(4A)-B^2/(4A) =(4AC-B^2)/(4A)
eller
-(B^2-4AC)/(4A), der med D= B^2-4AC
giver
C=-D/(4A),

Hvoraf
Ax^2+Bx+C=A(x-a)^2+b=A[x-(-B/(2A))]^2+[-D/(4A)]

Den parallelforskydning, der fører (0,0) over i (-B/(2A), -D/(4A))
fører
Grafen for y=Ax^2 med toppunkt (0,0)
over i
grafen for Ax^2+Bx+C med toppunkt (-B/(2A), -D/(4A)).

xx’ og yy’ med
sammenhængen
skal være
x-->x’ og y-->y’ med
sammenhængen

og
linie 37:
C=-D/(4A),

skal være
b=-D/(4A),