Matematik

limes

30. juli 2006 af faeces (Slettet)

Jeg har lidt problemer med denne opgave.
Hvordan får jeg hul på den?

lim {x->0}(1-cos(x^6))/x^12

Brugbart svar (0)

Svar #1
30. juli 2006 af Sansnom (Slettet)

Et par hints.

1) Subsituer y=x^3.
2) Forlæng derefter brøken - tænk i 3. kvadratsætning.
3) Brug, at du (håber jeg) ved, hvad lim {x->0) sin(y)/y er.

Skriv igen, hvis det ikke er hints nok.

Brugbart svar (0)

Svar #2
30. juli 2006 af Sansnom (Slettet)

Ak, der skulle stå
1) y=x^6
sorry.

Svar #3
30. juli 2006 af faeces (Slettet)

Ok jeg prøver

1) lim {x->0}(1-cos(x^6))/x^12

lim {y->0}(1-cos(y))/y^2

2) lim {y->0}(1-cos(y))(1+cos(y))/(1+cos(y))/y^2 =

lim {y->0}(1-cos^2(y))/(1+cos(y))/y^2 =

lim {y->0}(sin^2(y))/(1+cos(y))/y^2 =

lim {y->0}(sin^2(y))/y^2 * 1/(1+cos(y))=

lim {y->0}([sin(y))/y] * 1/(1+cos(y))=

lim {y->0}[sin(y))/y] * lim{y->0}(1/(1+cos(y))=

1 * 1/2 = 1/2

OK?

Brugbart svar (0)

Svar #4
30. juli 2006 af Sansnom (Slettet)

Super.

Du mangler dog et "i anden" to steder efter [sin(y))/y] i dine mellemregninger, men det er en lille detalje.

Du skal naturligvist også argumentere for, at y->0 <=> x->0, men det er jo trivielt og du har sikkert allerede overvejet dette.

Brugbart svar (0)

Svar #5
30. juli 2006 af Duffy

Hvis du er bekendt med l'Hospitals regel
er vejen til målet lidt hurtigere:

lim {x->0}(1-cos(x^6))/x^12

vha substitutionen z = x^6

fås (da z->0 for x->0)

lim {x->0}(1-cos(z))/z^2 =

lim {x->0} (sinz)/2z = 1/2

da lim {z->0) sin(z)/z = sin'(0) = cos(0) = 1

Duffy

Skriv et svar til: limes

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.