Matematik

Differentialigninger

03. september 2006 af Nannok (Slettet)

Bestem den løsning til differentialligningen

dy/dx = (xy)/kvrod(x^2 + 1)

gennem punktet P(kvrod(8),2)!

Skal seriøst have hjælp til det her, forstår godt fremgangsmåden, men kan bare ikke løse den!

Brugbart svar (0)

Svar #1
03. september 2006 af Sansnom (Slettet)

1) Lav seperation af de variable.
2) Find stamfunktion på begge sider. Y siden er simpel, mens du skal så bruge t=x^2+1 som substituion på x siden.

Ellers er det vist ganske efter bogen.

Svar #2
03. september 2006 af Nannok (Slettet)

så får jeg 1/ydy = x/kvrod(t) dx
hvad giver det så når jeg integrer?

lny = ????

Brugbart svar (0)

Svar #3
03. september 2006 af Sansnom (Slettet)

#2,
Kig lige på den subst. igen - du har vist slet ikke gjort det rigtigt. Du er ved at lave integration ved subst., så du skal finde dt udtrykt ved dx osv.

Svar #4
03. september 2006 af Nannok (Slettet)

så det er 1/ydy = x/kvrod(t) *1/2x *dt

Men kan ikke finde en løsning?

Brugbart svar (0)

Svar #5
03. september 2006 af mathon

dy/dx = (xy)/kvrod(x^2 + 1)

1/y*dy/dx = x/kvrod(x^2 + 1)
der integreres med hensyn til x på begge sider:

S1/y*dy/dx*dx=Sx/kvrod(x^2 + 1)*dx

S1/y*dy =Sx/kvrod(x^2 + 1)*dx

substituer t=x^2+1, hvoraf dt=2xdx
S1/y*dy =1/2*S1/kvrod(x^2 + 1)*2xdx
S1/y*dy =1/2*S1/kvrod(t)*dt
S1/y*dy =*S1/(2kvrod(t))*dt=
ln|y|=kvrod(t)+lnC, hvor C er en positiv konstant
ln|y|-lnC=kvrod(t)
ln(|y|/C)=kvrod(t)
|y|/C=e^kvrod(t)
|y|=Ce^kvrod(t)
y=±Ce^kvrod(t)
der tilbagesubstitueres
y=±Ce^kvrod(x^2+1)

y=f(x) skal gå gennen P=(kvrod(8),2), hvoraf
2=±Ce^kvrod(8+1); da C>0 og e^kvrod(8+1)>0 bliver -Ce^kvrod(8+1)og da
2="noget negativt" er falsk, må løsningen y=-Ce^kvrod(x^2+1) forkastes.

Den endelige løsning er således:
f(x)=y=Ce^kvrod(x^2+1), hvor C beregnes af
2=Ce^kvrod(8+1)<=>
C=2/e^3=2*e^-3
altså
f(x)=y=2*e^(-3)e^kvrod(x^2+1)=

f(x)=y=2e^(kvrod(x^2+1)-3)

Svar #6
03. september 2006 af Nannok (Slettet)

okay.. det forstår jeg godt.. men skal man ik beregne c før du kan indsætte punktet.. da vil det da ik være præcist nok!?

Brugbart svar (0)

Svar #7
03. september 2006 af mathon

...det har du misforstået.

Bemærk udtrykket:
"find en stamfunktion til".
Man siger ikke "find stamfunktioEN til"-

Det skyldes, at man finder én stamfunktion
til Sf(x)dx og kalder den ofte F(x)

ALLE stamfunktionerne til f(x) er så
F(x)+k, da (F(x)+k)'=f(x) uanset konstantens størrelse.

Da k tilhører mængden af relle tal, der som bekendt er uendelig,
findes der
uendeligt mange stamfunktioner til f(x).

Når det så oplyses, at y=F(x)+k går igennem P(xo,yo), kan du beregne
k1=yo-F(xo) dvs én og kun én k værdi (k1).
Først da er den søgte endelige stamfunktion entydigt bestemt
nemlig
y=F(x)+k1.

Svar #8
03. september 2006 af Nannok (Slettet)

nårh..

Ej mange tak.. det havde jeg slet ik tænkt over! nu forstår jeg :)

Brugbart svar (0)

Svar #9
03. september 2006 af mathon

...i den aktuelle opgave valgte jeg at kalde konstanten C eller rettere lnC, hvilket var langt mere praktisk med hensyn til de videre omskrivninger i netop den her type opgave. Men lnC er ikke bestemt før C er bestemt og omvendt.

Skriv et svar til: Differentialigninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.