Matematik

Sjov opgave

05. september 2006 af topra (Slettet)

... ifg. min lærer. Den er nok kun sjov når man har løst den.

http://peecee.dk/?id=1986

Cirklens radius er 1 og arealet af trekantens areal er 2. Selvom det ikke er det på tegningen, så er de stykker uden for cirklen fra trekanten lige store (x), det samme med de cirkelstykker, der rager ud over trekanten (y). Alle siderne på trekanten er lige lange.
Hvad er arealet af x og y?
Jeg er lost....

Svar #1
05. september 2006 af topra (Slettet)

Øh... kan den overhovedet løses?

Svar #2
06. september 2006 af topra (Slettet)

Ok, åbenbart ikke :(
Ingen fra min klasse har løst den...

Svar #3
06. september 2006 af topra (Slettet)

Fik den løst.

Svar #4
09. september 2006 af topra (Slettet)

hmmm. Ikke alligevel :)

Først finder jeg sidelængden på siderne ved T=0,5*a*b*sin(60) hvor a=b. Så deler jeg trekanten i tre dele fra midten af, så hvert stykke er 120*. En af de stykker deler jeg igen i 2 så jeg har en retvinklet trekanet hvor R=60* og P=20*. Så finder jeg p.
Jeg tegner så to streger fra C, så det rammer trekanten. Det giver en trekant som jeg deler, så der dannes to retvinklede trekanter. I en af de trekanter kender jeg to af siderne, den ene er radius=1, den anden er p, så jeg kan regne den sidste side ud, z. Så kan jeg regne T_lille ud af den trekant, hvor højden=p og grundlinjen er=2*z.
Jeg kan finde arealet af cirkelstykket og minusse det fra T_lille, men hvordan skal jeg finde arealet af cirkelstykket? Jeg kan sige T_cirkelstykke = pi*G/360*, hvor G er vinklen for cirkelstykket. Men hvordan gør jeg det?

Brugbart svar (0)

Svar #5
09. september 2006 af Sansnom (Slettet)

Når du siger, at x og y er lige store, mener du så arealer eller længder?

Svar #6
09. september 2006 af topra (Slettet)

tegning:
http://peecee.dk/?id=2418

Svar #7
09. september 2006 af topra (Slettet)

#5 Arealer, men areal(x) er ikke lig med areal(y).

Svar #8
09. september 2006 af topra (Slettet)

Nåh ja. Jeg kan jo bare bruge A=sin^1(a/b)! (Jeg havde løst, men havde smidt papiret væk med svaret, så jeg kunne ikke huske hvad jeg havde lavet...)
Så arealet af x = A_cirkelstykke - A_lille, mens arealet af y er 2 - (pi-3*y). Er fremgangsmåden rigtig?

Brugbart svar (0)

Svar #9
09. september 2006 af Sansnom (Slettet)

Det piner mig lidt, at jeg ikke kan finde en smart måde, hvor man kan bestemme værdierne eksakt, men her er mit forslag.

s er længden er siderne i trekant:
2=½s^2sin(120)
<=> s=(64/3)^(1/4) ~=2,14814

p er som på din figur.
½*p*s*3 = 2
<=> p=(27/4)^(-1/4)~=0,620403

Vinkel v er vinklen med centrum i den retvinkelede trekant med siderne p, z og 1 på din figur:

cos(v) = p/1
<=> v~= 51,6544 grader

Areal af samme trekant er så:
T=½*p*1*sin(v) ~= 0,243285

Arealet af den del af cirklen, som svarer til denne trekant plus det lige under trekanten er så:
A=v/360*pi ~= 0,45077

Forskellen er så
½y = A-T ~= 0,2075
<=> y~= 0,415

Brugbart svar (0)

Svar #10
09. september 2006 af piper (Slettet)

Vinkelhalveringslinjerne/mediaerne (da vi jo arbejder med en ligesidet trekant) skærer hinanden i trekantens tyngdepunkt (cirklens centrum) og deler hinanden i forholdet 1:2, så dermed er afstand fra centrum af cirklen til korde lig med en 1/3 af højden i trekanten.

- Bestem højden af trekanten ved brug af formlen for arealet af en trekant.

- Bestem ved brug af denne højde og cirklens radius kordens længde

Nu kan du let bestemme arealet af y og dermed arealet af x rimelig let.

Brugbart svar (0)

Svar #11
09. september 2006 af piper (Slettet)

Når du bestemmer højden af trekanten skal du vel at mærke også anvende pythagoras.

Jeg har ikke regnet noget facit ud noget facit ud selv, men jeg håber, du forstår forklaringen.

Jeg har selv AAALT for meget matematik at se til :)

Svar #12
10. september 2006 af topra (Slettet)

Ja, jeg får de samme resultater som #9, og hvis jeg bruger #10s metode, får jeg også det samme (selvom jeg ikke er helt sikker på den). Tak :) Jeg kan godt se at min metode måske ikke er den korteste vej, men jeg kunne ikke lige overskue at gøre den lettere.

Skriv et svar til: Sjov opgave

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.