Matematik

differentialligninger

26. september 2006 af Arkanoid (Slettet)

Hej

Følgende to opgaver er jeg mildest talt gået i stå på.

Begge er fra Eksamensopgaver i matematik

5.151)
Bestem den løsning til differentialligningen dy/dx = y / (9 - x^2) hvis graf indeholder punktet P(1,2)

Her har jeg forsøgt at udlede ligningen, bl.a. v.h.a. af kvadratsætninger, men er gået i stå i nogle integraler, der ikke giver mig det rigtige svar.

5.153)
Ifølge en model for udviklingen i den årlige relative tilvækst i den danske skarvebestand siden 1980 gælder at:

(1/y)(dy/dt) = 0,34 - 0,013t
y er antal skarver, og t er antål år efter 1980.
I 1992 skønnede man bestanden til 156 000 skarver.

Bestem den løsning f(t) til differentialligningen, for hvilken f(12) = 156 000

Det her ligner den logistiske ligning, men jeg gik i stå p.g.a. det t på højre side. Den logistiske ligning er så vidt jeg ved givet ved dy/dx = y(a - by).

Kreative forslag modtages med stor glæde

Brugbart svar (0)

Svar #1
26. september 2006 af ibibib (Slettet)

Begge opgaver løses ved separation af de variable.

1.151 Du får brug for (tror jeg) at dele 1/(9-x²) op i to stambrøker.

5.153
Du skal regne videre fra
lny = 0,34x-0,013/2·x²+k

Brugbart svar (0)

Svar #2
26. september 2006 af Sentinox (Slettet)

5.151)

Seperation af de variable

dy/dx =y/(9-x^2) <=>
1/y dy = 1/(9-x^2) dx

G(y) = int(1/y,y) = ln(y)
F(x) = int(1/(9-x^2),x) =
-1/6*ln(x-3)+1/6*ln(x+3)

G(y) = F(x) + c =>

ln(y) = -1/6*ln(x-3)+1/6*ln(x+3) + k , k in R

exp på begge sider =>

y(x) = (x+3)^(1/6)*exp(k)/(x-3)^(1/6)
sættes exp(k) = c, c in R =>

y(x) = (x+3)^(1/6)/(x-3)^(1/6)*c

Du manlger nu at løse ud fra randbetingelsen.

5.153)
Denne når jeg desværre ikke at kigge på, men ehld og lykke med den.

//Sentinox

Brugbart svar (0)

Svar #3
26. september 2006 af gymnasie-elev (Slettet)

ej hvor vildt!!!
Peter sidder med fulkommen to samme opgaver, og har siddet og svedt over dem hele dagen, og bare prøvet og prøvet

5.151

y / (9 - x^2)= (1/(9-x^2))*y
i første del af opgaven får du intergralet af den sidste

Brugbart svar (0)

Svar #4
27. september 2006 af mathon

S[(1/y)(dy/dt)]dt = S[0,34 - 0,013t]dt

S(1/y)dy = S0,34dt - S0,013tdt

ln(y) = 0,34t – 0.013*1/2*t^2 + ln(C)........(hvor ln(C) er en integrationskonstant)

ln(y) - ln(C) = 0,34t – 0.0065*t^2

ln(y/C) = 0,34t – 0.0065*t^2

y/C = e^(0,34t – 0.0065*t^2)

y = C e^(0,34t – 0.0065*t^2)

Brugbart svar (0)

Svar #5
27. september 2006 af mathon

y=f(t)=C e^(0,34t – 0.0065*t^2)

C = f(t)/[e^(0,34t – 0.0065*t^2)]

C = f(t)/[e^(0,34t – 0.0065*t^2)]

C = f(12)/[e^(0,34*12 – 0.0065*12^2)]

C = 156000/[e^(0,34*12 – 0.0065*12^2)]

Brugbart svar (0)

Svar #6
27. september 2006 af mathon

#2
reduceret lidt:

y(x) = (x+3)^(1/6)/(x-3)^(1/6)*C

y(x) = C[(x+3)/(x-3)]^(1/6)

Brugbart svar (0)

Svar #7
27. september 2006 af mathon

kommentar til
#2 linie 6-7:

F(x) = int(1/(9-x^2),x) =

-1/6*ln(x-3)+1/6*ln(x+3)=
1/6*ln((x+3)/(x-3))

udledning:
se
https://www.studieportalen.dk/forum/viewtopic.php?t=260556

Skriv et svar til: differentialligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.