Vektorrum

Long time no hear!

Det er fordi samtlige egenvektorer hørende til en egenværdi lambda ud gør et underrrum i V.

Betragt den lineære afbildning f(x) = Tx, ved hvilket et vektorrum V over legemet L afbildes ind i sig selv. Egenværdierne for afbildningen bestemmes af ligningen

f(x) = Tx = lambda*x (1)

hvor x er en _egentlig_ vektor og lambda et element i L.

Betegn med U mængden af løsninger til (1). Vi vil vise, at U re et underrum i V. Dertil skal vi vise, at følgende betingelser er opfyldt for alle elementer (vektorer) i U:

(a) x,y E U => x+y E U
(b) k E L /\ x E U => kx E U

For vektoren y gælder den til (1) svarende ligning

f(y) = lambda*y

og da f er lineær fås

f(x+y) = f(x)+f(y) = lambda*x+lambda*y = lambda*(x+y)

d.v.s. x+y er en egenvektor hørende til egenværdien lambda, altså x+y E U. Prøv selv at bevise at betingelse (b) er opfyldt.

Hej Fixer

Mange tak for dit svar! Jeg kigger på det i morgen, hvor jeg har fri.

Angående at du ikke har hørt fra mig i lang tid, så kan jeg jo ikke forstyrre dig hele tiden, selvom jeg gerne ville :) Jeg må jo ikke køre min hjælpelærer træt, hehe.

Jeg kom lige i tanke om et andet spørgsmål. Dette semester skriver vi projekt om differentialligninger. I den forbindelse kom jeg helt i tvivl om, hvad definitionen af en lineær differentialligning er?

Hehe! Netop som jeg havde skrevet spørgsmålet, kom jeg i tanke om svaret :)

Hej igen.

Her følger beviset for b)

f(k*x)=k*f(x)=k*lambda*x=lambda*k*x


Nu kan jeg godt se, at egenvektorerne hørende til en egenværdi udgør et underrum i V, men hvorfor betyder det, at Range(T-lambda*I) udgør et underrum i V?

Rigtig god weekend :)

Jeg har vist begået en klassisk synd og læst dit spørgsmål med overlydsfart og fået den forkerte opfattelse af hvad du spørger om. Det var min opfattelse, at spørgsmålet gik på, hvorfor løsningsmængden til f(x) = lambda*x udgør et underrum i V.

For at det hele ikke skal være spildt så har du nu alligevel fået noget ud af det. Du har nemlig vist at løsningsmængden til

f(x) = lambda*x <=> f(x)-lambda*x = 0

og dermed kernen af afbildningen

g(x) = f(x)-lambda*x

udgør et underrum.

Men det var jo ikke det du spurgte om. Du spurgte om, hvorfor billedmængden U = Im(g) er et underrum i V over legemet L. Billedmængden for en lineær afbildning h:U->V er altid et underrum i V (ligesom ker(h) altid er et underrum i U).

Bevis: Hvis k E L og y E h(V) findes et x E U så y = h(x). Derfor gælder ky = kh(x) = h(kx) E h(U). Det viser, at regel (b) i#1 er opfyldt. Hvis y1,y2 E h(U) findes x1,x2 E U sådan at y1=h(x1) og y2=h(x2) og dermed er y1+y2=h(x1)+h(x2)=h(x1+x2) E h(U). Det viser, at regel (a) i #1 er opfyldt. Dermed er vist at h(U) er et underrum i V.

Mange tak for svaret - så fik jeg svar på mit oprindelige spørgsmål ;)

Du har virkelig en eminent evne til at formidle matematik på en pædagogisk måde!