Matematik

Induktionsbevis

22. oktober 2006 af Manze1212 (Slettet)

Sidder og knokler med en matematik rapport om bevisførelse, og er noget til induktionsbevis.
I min rapport skal jeg løse følgende opgave:

Vis ved induktion, at der for alle naturlige tal n gælder:

1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = 1/6 n(n+1)(2n+1)

Kan simpelthen ikke greje hvordan pokker denne opgave skal løses, så det ville være super hvis der var en der lige kunne give mig et hint eller to. :)

På forhånd tak!

Brugbart svar (0)

Svar #1
22. oktober 2006 af ibibib (Slettet)

Du skal bla. vise at hvis
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = 1/6 n(n+1)(2n+1)
så er
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2+(n+1)^2 = 1/6 (n+1)(n+2)(2(n+1)+1).

1/6 (n+1)(n+2)(2(n+1)+1) =
1/6 (n+1)(n+2)(2n+3) =
osv.

Svar #2
22. oktober 2006 af Manze1212 (Slettet)

okay! synes bare ikke jeg kan få det til at give det der står på venstre siden...
har sikkert glemt en eller anden simpel regneregel :(

Brugbart svar (0)

Svar #3
22. oktober 2006 af allan_sim

#2.
Det er sikkert lettere at starte med venstresiden.

Antag således at formlen gælder for n og kig på n+1:

1² + 2² + ... + n² + (n+1)²
= (1² + 2² + ... + n²) + (n+1)²

Ved brug af reglen for formlen for n på parentesen fås

1/6*n*(n+1)*(2n+1) + (n+1)²

Reducér på dette og få det rette udtryk fra højresiden i #1.

Husk også at bevise basis, dvs. for n=1.

Svar #4
23. oktober 2006 af Manze1212 (Slettet)

#3 - Kan simpelthen ikke få

1/6 n(n+1)(2n+1)+(n+1)²

til at blive

1/6 (n+1)(n+2)(2(n+1)+1)

bliver snart meget negativ!

hjælp...

Brugbart svar (0)

Svar #5
25. oktober 2006 af allan_sim

#4.
1/6 n(n+1)(2n+1)+(n+1)² = 1/6 n(n+1)(2n+1)+(n+1)(n+1)
= 1/6 n(n+1)(2n+1)+6/6(n+1)(n+1)
= 1/6 (n+1)(n(2n+1)+6(n+1))
= 1/6 (n+1)(2n²+n+6n+6)
= 1/6 (n+1)(2n²+7n+6)
= 1/6 (n+1)(n+2)(2n+3)

Da 2(n+1)+1=2n+3 er vi færdige.

Spørg hvis der er noget, du ikke forstår.

Svar #6
25. oktober 2006 af Manze1212 (Slettet)

forstår ikke helt hvorfor du sætter 6/6 ind?

kan godt se det er "lovligt" at gøre, men hvordan ved man lige det er 6/6 der skal indsættes?

kort sagt, forstår ikke hvordan

1/6 n(n+1)(2n+1)+6/6(n+1)(n+1)
= 1/6 (n+1)(n(2n+1)+6(n+1))

Men udover det, mange tak for hjælpen! :)

Brugbart svar (0)

Svar #7
26. oktober 2006 af allan_sim

#6.
Det var udelukkende for at illustrere, hvordan 6-tallet dukker op i tredje linje - det er således ikke en ubetinget nødvendighed at gøre.

Men eftersom man sætter 1/6 (n+1) uden for parentes, og eftersom der reelt står et 1-tal foran sidste led, så skal vi huske at gange dette med 6, når vi sætter uden for parentes (fordi 6*1/6=1). Det mente jeg, var lettere at indse, hvis jeg til at starte med skrev 6/6. Jeg vidste, at det lige var 6/6, jeg skulle skrive, fordi jeg havde 1/6 med i starten.

Giver det mening?

Svar #8
26. oktober 2006 af Manze1212 (Slettet)

Ahh, nu har jeg vidst endelig forstået det! :)

Så er der vidst kun tilbage at sige tusinde tak for hjælpen!

Skriv et svar til: Induktionsbevis

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.