Matematik

Redegørelse

01. november 2006 af Jackass (Slettet)

Hej allesammen..
Er lig gået igang med en matopgave, men gik med det samme i stå..
Opgaven lyder således:

For et givet positivt tal r er en funktion f bestemt ved
f(x)= v(2·r·x - x^2)
0 = x = 2·r

Grafen for denne funktion er en halvcirkel med radius r og centrum i punktet C(r,0).
For ethvert tal h, hvor 0 < h = 2r, er en punktmængde bestemt ved

{(x,y)|0=x=h ? 0=y=f(x)}

Ved en rotation af sådan en punktmængde 360° omkring førsteaksen fremkommer et omdrejningslegeme, der er en del af en kugle med radius r. Rumfanget V af dette omdrejningslegeme er en funktiona af h.
Gør rede for at

V(h)=p*h^2*(r-h/3)

Jeg håber at der er nogen der kan hjælpe, er selv helt lost...

Svar #1
01. november 2006 af Jackass (Slettet)

Rettelse istedet for 0 = x = 2·r skulle der stå 0 < x = 2·r
og istedet for {(x,y)|0=x=h ? 0=y=f(x)}, skulle der stå:
{(x,y)|0=x=h og 0=y=f(x)} ..

Håber i er med

Brugbart svar (0)

Svar #2
01. november 2006 af mathon

...f(x)= sqr(2·r·x - x^2)

hvis du på din tegning lader I være en inddeling af intervallet x€[0;h]:

I: 0=x_o < x_1 < x_2 < ... < x_n=h,
vil - hvis inddelingen er fin nok -
området under grafen for f(x) og linjerne x=x_i og x=x_i+1
ved omdrejningen på 360° om x-aksen danne en tynd skive, hvis rumfang kan beregnes som rumfanget af en cylinder med højden (tykkelsen) x_i+1 - x_i og radius f(x). Denne skives rumfang bliver således

pi*(f(x))^2*(x_i+1-x_i)

efter hånden som i gennemløber intervallet [0;n]
vil du få en række skiver med
rumfanget
pi*(f(x))^2*(x_i+1-x_i) for skiftende i.

Når n->oo vil rumfanget gå mod

pi*(f(x))^2*dx

grænseværdien - under almene betingelser

lim SUM(pi*(f(x))^2*dx)
n->oo

er

h
S pi*(f(x))^2*dx =
0

h
pi*S (2r*x-x^2)*dx
0

som du beregner.....

Brugbart svar (0)

Svar #3
06. november 2006 af est (Slettet)

Hvad skal h forståes som i opgaven???

Brugbart svar (0)

Svar #4
06. november 2006 af est (Slettet)

Vil du ikke komme med lidt mere forklaring til: x_i+1 - x_i ???

Er x_i ikke det samme som 1/n?

Mvh EST

Brugbart svar (0)

Svar #5
06. november 2006 af est (Slettet)

Burde man ikke kunne skrive:

V=pi*(1/n)*((x_0)^2+(x_1)^2+(x_2)^2+...+(x_n)^2)

Altså igen lave en masse små cylindere og addere deres rumfang... Jeg har dog stadig hE[0;2r[

Brugbart svar (0)

Svar #6
06. november 2006 af mathon

...det vigtige er, at der etableres en fin inddeling - n --> oo - eller hvordan du nu vil udtrykke det. Skrivemåden kan vælges lidt forskellig. Men det ændrer ikke ved, at grænsen går mod middelsummen

h
pi*S (2r*x-x^2)*dx =
0

h
pi*[r*x^2-(1/3)*x^3]=
0

pi*[r*h^2-(1/3)*h^3-(r*0^2-(1/3)*0^3)]=

pi*[r*h^2-(1/3)*h^3]...(der sættes h^2 udenfor en parentesen

pi*h^2(r-h/3)

Brugbart svar (0)

Svar #7
07. november 2006 af mathon

(der sættes h^2 udenfor en parentesen -->

(der sættes h^2 udenfor parentesen)

Skriv et svar til: Redegørelse

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.