Matematik
Integralet x+2 / x^2+4x+5
08. november 2006 af
Merit-HB (Slettet)
først har jeg et grundlæggende spørgsmål, i min opgave står integralet således
x+2
BRØKSTREG
x^2+4+5
skrives det som x+2/x^2+4x+5) eller x+2/x^2+4x+5 ?
og nu til selve integralet
Jeg ville umiddelbart sige at det er en sammensat funktion bestående af x+2 og x^2+4x+5
så man burde og skulle løse den ved integration ved substitution (ret mig hvis min fremgangsmåde er forkert)
og så er det første jeg tænker om integralet passer på formen
f(g(x))*g(x)', hvilket det ikke gør men kan komme til ved og gange en konstant på og derefter gange konstantens reciprokke værdi på udenfor integralet
så kommer vi hen til et punkt hvor vi kan substituere ved og omskrive integralet
1 1
S x+2 / (x^2+4x+5)dx= (1/2)*S 1/(x^2+4x+5)* (x+2)*2dx
0 0
hvis vi sætter t = x^2+4x+5 og dt = 2x+4
så regner vi g(a), g(a) = 1^2+4*1+5= 10
g(b) = 5
altså er vores nye integral
10 10
(1/2)*S 1/t dt =(1/2)*[ln(t)]= (1/2)*(ln(10)-ln(5))=
5 5
(1/2)*2 = 1
Fortæl endeligt hvis jeg gør noget forkert så jeg kan rette fejlen. På forhånd tak for hjælp !
x+2
BRØKSTREG
x^2+4+5
skrives det som x+2/x^2+4x+5) eller x+2/x^2+4x+5 ?
og nu til selve integralet
Jeg ville umiddelbart sige at det er en sammensat funktion bestående af x+2 og x^2+4x+5
så man burde og skulle løse den ved integration ved substitution (ret mig hvis min fremgangsmåde er forkert)
og så er det første jeg tænker om integralet passer på formen
f(g(x))*g(x)', hvilket det ikke gør men kan komme til ved og gange en konstant på og derefter gange konstantens reciprokke værdi på udenfor integralet
så kommer vi hen til et punkt hvor vi kan substituere ved og omskrive integralet
1 1
S x+2 / (x^2+4x+5)dx= (1/2)*S 1/(x^2+4x+5)* (x+2)*2dx
0 0
hvis vi sætter t = x^2+4x+5 og dt = 2x+4
så regner vi g(a), g(a) = 1^2+4*1+5= 10
g(b) = 5
altså er vores nye integral
10 10
(1/2)*S 1/t dt =(1/2)*[ln(t)]= (1/2)*(ln(10)-ln(5))=
5 5
(1/2)*2 = 1
Fortæl endeligt hvis jeg gør noget forkert så jeg kan rette fejlen. På forhånd tak for hjælp !
Svar #1
08. november 2006 af mathon
x+2/x^2+4x+5 er det rigtige.
integrationen kan foretages - RIGTIGT - meget lettere.
S (x+2)/(x^2+4x+5)dx = S 1/(x^2+4x+5)*(x+2)*dx =
1/2*S 1/[x^2+4x+5]*[2(x+2)dx]
der klargøres til substitution:
sæt t=x^2+4x+5, hvoraf dt/dx=2x+4=2(x+2)
eller
dt=2(x+2)dx
ændrede grænser
x_øvre=1 --> t_øvre=1^2+4*1+5 = 10
x_nedre=1 --> t_nedre=0^2+4*0+5 = 5
der substitueres i de kantede parenteser og bestemtintegreres med hensyn til t med de beregnede t-grænser
integrationen kan foretages - RIGTIGT - meget lettere.
S (x+2)/(x^2+4x+5)dx = S 1/(x^2+4x+5)*(x+2)*dx =
1/2*S 1/[x^2+4x+5]*[2(x+2)dx]
der klargøres til substitution:
sæt t=x^2+4x+5, hvoraf dt/dx=2x+4=2(x+2)
eller
dt=2(x+2)dx
ændrede grænser
x_øvre=1 --> t_øvre=1^2+4*1+5 = 10
x_nedre=1 --> t_nedre=0^2+4*0+5 = 5
der substitueres i de kantede parenteser og bestemtintegreres med hensyn til t med de beregnede t-grænser
Svar #2
08. november 2006 af mathon
nåååå - men det har du jo næsten gjort, men er ikk i stand til at reducere
(1/2)*(ln(10)-ln(5))rigtigt
1/2*[ln(2*5)-ln(5)]
1/2*[ln(2)+ln(5)-ln(5)]
1/2*ln(2)=ca. 0.346574
ellers FIN udledning med "småskrøbelig" afslutning :)
(1/2)*(ln(10)-ln(5))rigtigt
1/2*[ln(2*5)-ln(5)]
1/2*[ln(2)+ln(5)-ln(5)]
1/2*ln(2)=ca. 0.346574
ellers FIN udledning med "småskrøbelig" afslutning :)
Svar #4
08. november 2006 af Merit-HB (Slettet)
Hehe tak Mathon synes også det virkede rigtigt, og ja retter lige det med afslutningen !
#3 ja jeg har fået en ny regnemaskine og det går fint fint, men brugte den ikke lige i det her tilfælde da jeg synes jeg kunne huske nogle regler med den naturlige logaritme vores lærer nævnte.
Kigger dem lige igennem igen, og tak fordi du mindede mig om det med afslutningen ! virkelig værdsat : )
#3 ja jeg har fået en ny regnemaskine og det går fint fint, men brugte den ikke lige i det her tilfælde da jeg synes jeg kunne huske nogle regler med den naturlige logaritme vores lærer nævnte.
Kigger dem lige igennem igen, og tak fordi du mindede mig om det med afslutningen ! virkelig værdsat : )
Skriv et svar til: Integralet x+2 / x^2+4x+5
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.