Side 2 - Bevis

Til #11.

Hvorfor medfører binomialsætningen at

(1+x)^n > 1+n*x

#21: Det gælder naturligvis også kun generelt for x>0. Se

http://mathworld.wolfram.com/BinomialTheorem.html

og brug, at C(n,1)=n og C(n,0)=1.

Jeg synes ikke lige jeg kan se det, så hvis du gider forklare det relativt detaljeret - dvs. ligesom ved #11 -, så vil det være helt perfekt.

Lad os i stedet vise det vha. induktion - det andet er lidt at skyde gråspurve med kanoner. Vi viser da det lidt svagere resultat

(1+x)^n >= 1+nx, x>0.

(alternativt med en svagere betingelse på x, men ovenstående er nok her).

For n=1 gælder resultatet oplagt. Antag nu, at det gælder for n>1. Vi skal da vise, at det gælder for n+1. Men

(1+x)^(n+1)=(1+x)^n*(1+x)

og bruger vi induktionsantagelsen ses

(1+x)^(n+1)>=(1+nx)(1+x)

gang parentesen ud og vi får

(1+nx)(1+x)=(n+1)x+1+nx^2>=(n+1)x+1,

eftersom x^2 altid er positiv. Induktionsprincippet giver derfor, at

(1+x)^n >= 1+nx, x>0.

for alle naturlige tal n.