Matematik

Bevis

02. marts 2004 af Dominik Hasek (Slettet)

Er der ikke et klogt hoved, der kan hjælpe mig med at bevise (uden brug af lommeregner e.l.), at

(7^(1/2))^(8^(1/2)) > (8^(1/2))^(7^(1/2))

Brugbart svar (0)

Svar #1
02. marts 2004 af Peden (Slettet)

Se på potensregnereglerne først, for ligesom at få det reduceret lidt.

Brugbart svar (0)

Svar #2
02. marts 2004 af 404error (Slettet)

Et trick kunne være at formulere problemet mere generelt. F.eks., for reelle x,y, hvornår er

x^y>y^x?

Dette er let at svare på når x,y>=e. Så gælder ovenstående netop når y>x. Men det argument dur vist desværre ikke i dit tilfælde - i hvert fald ikke direkte.

Svar #3
02. marts 2004 af Dominik Hasek (Slettet)

Jeg skal ærligt indrømme, at jeg slet ikke er klar over om det kan vises uden brug af lommeregner. Efter lidt omskrivning kommer jeg frem til

2/3 > ln(2)7^(1/2)/(ln(7)2^(1/2))

men det hjælper vist ikke det store...

Brugbart svar (0)

Svar #4
02. marts 2004 af 404error (Slettet)

Er det en opgave? For så kan det jo nok. Men det er næppe let. Måske en passende omskrivning og så sammenligning af rækkeudviklinger?

Svar #5
04. marts 2004 af Dominik Hasek (Slettet)

Det er ikke en opgave jeg SKAL lave. Dog skulle jeg gerne bruge det i et lille bevis, men det går nok alligevel.

Brugbart svar (0)

Svar #6
04. marts 2004 af Brian (Slettet)

#3 - selvfølgelig kan det vises uden brug af lommeregner, det er jo bare tal! Men men men - man skal jo bare lige vide hvordan... Spøjs opgave, hvis jeg finder på noget vender jeg tilbage...

Svar #7
04. marts 2004 af Dominik Hasek (Slettet)

Det lyder godt!

Brugbart svar (0)

Svar #8
04. marts 2004 af Brian (Slettet)

Efter en løbetur, en pilsner, noget mad og en hel del Hvad er det for en sammenhæng dette er dukket op i?

Brugbart svar (0)

Svar #9
04. marts 2004 af Brian (Slettet)

... en hel del regning...

Brugbart svar (0)

Svar #10
04. marts 2004 af Brian (Slettet)

... kan jeg kun sige, at denne her er svær!

Brugbart svar (0)

Svar #11
04. marts 2004 af 404error (Slettet)

Her er en kalkering af et tilsvarende bevis, jeg fandt på en nyhedsgruppe. Desværre har jeg smidt linket væk :(

Metoden er meget ad hoc; men i den pågældende NG-tråd viste der sig også store vanskeligheder ved at bruge velkendte metoder på problemet...

Opløft først i anden potens på begge sider, hvorved vi får:

7^sqrt(8)>8^sqrt(7)

Bemærk nu, at

8*29^2 > 7*31^2 <=>

sqrt(8)^29 > sqrt(7)^31

hvilket f.eks. følger af

8*(x-1)^2-(x^2-30*x+1)=7*(x+1)^2,

med x=30. Det er derfor tilstrækkeligt at vise, at

7^((31/29)*sqrt(7))>8^sqrt(7).

Omskriv til

7^(31/29)>8 <=>

7^30/8^28 > 8/7.

Brug nu at

(7^5/2^14)^6 > (42/41)^6

hvilket følger idet

7^5=7*(50-1)^2>7*(2500-100)=16800=42

samt

2^14=2^4*2^10
Binomialsætningen medfører at

(1+x)^n >1+n*x

og vi er da færdige, eftersom

(42/41)^6 > 1 + 6/41 > 1 + 1/7=8/7.

Et særdeles uskønt bevis, men det virker.

Brugbart svar (0)

Svar #12
04. marts 2004 af 404error (Slettet)

Og forresten - de sære vurderinger i starten stammer (så vidt jeg husker) fra kædebrøksudviklinger for passende kvadratrødder. Så det ikke _kun_ heldige gæt ;)

Svar #13
05. marts 2004 af Dominik Hasek (Slettet)

MANGE, MANGE TAK!!!

Nu spørger jeg nok dumt, men hvorfor er

8*29^2 > 7*31^2

ensbetydende med, at

sqrt(8)^29 > sqrt(7)^31

Brugbart svar (0)

Svar #14
05. marts 2004 af iB (Slettet)

(a*b)^(x)=a^x*b^x

og så er jo sqrt(x)=x^(1/2)

Brugbart svar (0)

Svar #15
05. marts 2004 af 404error (Slettet)

#13: Det er vist et godt spørgsmål, men det bliver nu heller ikke brugt. Det bruges, at

8*29^2>7*31^2 <=> (sqrt på begge sider)

sqrt(8)>(31/29)*sqrt(7)

og dermed oplagt at

7^sqrt(8)>7^((31/29)*sqrt(7))

Brugbart svar (0)

Svar #16
05. marts 2004 af iB (Slettet)

Sry, jeg var helt ved siden af der... :-(

Svar #17
05. marts 2004 af Dominik Hasek (Slettet)

Lige et sidste spørgsmål:

Hvorfor gælder

7^(31/29)>8 <=> 7^30/8^28 > 8/7

Brugbart svar (0)

Svar #18
05. marts 2004 af 404error (Slettet)

Det er blot potensregneregler, der er i sving. Opløft til 29 på hver side og flyt rundt:

7^31>8^29 <=>

7^30>8^29/7 <=>

7^30/8^28>8/7

Svar #19
05. marts 2004 af Dominik Hasek (Slettet)

Takker!

Brugbart svar (0)

Svar #20
05. marts 2004 af Brian (Slettet)

Også tak herfra! Det var altså bare tal - men du har ret, 404error, at det er et hæsligt bevis!

Forrige 1 2 Næste

Der er 24 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.