Matematik

Gør rede for begrebet 1. ordens differentialligninger og deres løsninger

17. maj kl. 14:16 af CarlElias - Niveau: B-niveau

Gør rede for begrebet 1. ordens differentialligninger og deres løsninger. Gør specielt rede for differentialligninger af typen y' = k * y


Brugbart svar (1)

Svar #1
17. maj kl. 14:55 af MentorMath

Hej,

Hvad er spørgsmålet?

En lineær førsteordens differentialligning er en differentialligning på formen

x '(t) + p(t)x(t) = q(t),

hvor funktionerne p(t) og q(t) er givet, og hvor x(t) er den ubekendte funktion....


Brugbart svar (0)

Svar #2
17. maj kl. 15:58 af peter lind

Du skal altså først og fremmest slå op i din bog og se der, hvad der er om emnet. Derefter hvis der er noget du ikke forstår kan du henvende dig her og komme med hvad du ikke forstår i detaljer.


Brugbart svar (0)

Svar #3
17. maj kl. 20:10 af M2023

#0. Se for eksempel denne video https://www.youtube.com/watch?v=5Z2Yz2muQZ0.


Svar #4
20. maj kl. 18:06 af CarlElias

Der står ikke mere til opgaven. Hvilke beregninger er nødvendige?


Brugbart svar (1)

Svar #5
20. maj kl. 22:30 af MentorMath

#4

Har du slået op i din bog, som #2 foreslår og set videoen i #3? 

Udfra opgavens udformning antager jeg at det er et eksamens-/prøvespørgsmål til den mundtlige eksamen/prøve i matematik (jeg har dog svært ved at forstå, at I har om differentialligninger på B-niveau, hvor man typisk, endnu ikke, har haft integralregning)?

Til den mundtlige eksamen, er det som sådan ikke beregningerne der lægges vægt på, men i stedet, at du viser matematisk forståelse ved at du kan redegøre for de begreber, der knytter sig til emnet og inddrage et eller flere beviser. Husk at redegørelse er det højeste taksonomiske niveau i matematik.

Når der står "Gør specielt rede for differentialligninger af typen y' = k·y", bør du bevise/udlede løsningsformlen til differentialligningen. Hvis du har brug for hjælp til selve udledningen, vil jeg eller en af de andre i tråden gerne forsøge at hjælpe med det.

I forhold til, at du bedes "Gøre rede for begrebet 1. ordens differentialligninger og deres løsninger.", bør du først og fremmest kunne sammenligne differentialligningen y' = ky, med formen for en vilkårlig (tilfældig) lineær førsteordens differentialligning (den som står i #1). 

Hernæst bør du nok også inddrage panserformlen, hvis I har set den i undervisningen.

Giver det en ide om hvordan du kan gribe det an, eller er det stadig uklart? :)


Svar #6
21. maj kl. 15:04 af CarlElias

Har både læst i bogen og set videoen og har skrevet lidt om hvad differential ligninger er og hvordan de løses. Har også skrevet et par eksempler til hvordan de kan se ud og hvordan de ser ud når de er i de forskellige orden. Men kan ikke finde ud af at bevise y' = k * y


Brugbart svar (1)

Svar #7
21. maj kl. 15:31 af MentorMath

(#6)

Det lyder til at være er en god start.

Du behøver ikke at fokusere på eksempler for forskellige ordener, da spørgsmålet kun vedrører førsteordens differentialligninger, specifikt. Altså må hverken din lærer eller cencoren, ikke stille spørgsmål i andenordens- eller tredjeordens differentialligninger eller spørge efter eksempler på det, da dette alt sammen ligger uden for emnet. Du skal dog kunne svare på, hvorfor en given differentialligning er af førsteorden. Altså, at funktionen er differentieret netop en gang.

Jeg vil gerne hjælpe dig med beviset for løsningsformlen. Der er par måder at bevise det på, hvor integralregning indgår i beviset.

Har du haft integralregning? 

Da dette ellers ikke giver mening at inddrage i beviset.


Svar #8
21. maj kl. 17:48 af CarlElias

Vi har haft om integralregning ja. Har prøvet at give det et forsøg og kom frem til y=±Ce^kx


Svar #9
21. maj kl. 18:30 af CarlElias

er ikke helt med på hvordan kan jeg gøre det her: I forhold til, at du bedes "Gøre rede for begrebet 1. ordens differentialligninger og deres løsninger.", bør du først og fremmest kunne sammenligne differentialligningen y' = ky, med formen for en vilkårlig (tilfældig) lineær førsteordens differentialligning (den som står i #1). 


Brugbart svar (1)

Svar #10
21. maj kl. 18:34 af MentorMath

#8

Okay, super.

Godt at se at du prøver, og fuldstændigt korrekt. Normalt vil man dog ikke sige ±C, men blot sige at C både kan være ethvert reelt tal ("alle tal"), altså være både postiv og negativ. Eksponentialfunktionen er derimod altid positiv. 

Jeg har prøvet at forklare hvordan beviset er bygget op (se bilag). Så må du endelig skrive, hvis du har spørgsmål.

Jeg har på bilaget ladet t være den variable, da man ofte bruger t som variabelbetegnelse når det kommer til differentialligninger. Om man bruger t eller x som variabelbetegnelse er helt underordnet og du skal blot gøre som I har gjort i undervisningen.


Svar #11
21. maj kl. 18:41 af CarlElias

Her er hvordan jeg havde skrevet det op. Skal jeg ændre noget af det?


Brugbart svar (1)

Svar #12
21. maj kl. 18:42 af MentorMath

#9

Hej igen - Helt fair.

At den generelle form for en lineær førsteordens differentialligning er givet ved

x '(t) + p(t)x(t) = q(t),

betyder blot, at det er en differentialligning, hvor der indgår en ubekendt funktion, x(t) og dens afledede (førsteordens afledede, da den er differentieret én gang). Dertil indgår der to andre funktioner, hvor den ene funktion er ganget på x(t).

Da y'(t) = k·y(t) er en lineær førsteordens differentialligning, er det en diff.ligning, der kan skrives på formen

x '(t) + p(t)x(t) = q(t).

Når vi skal sammenligne y'(t) = k·y(t), skal vi finde ud af, hvad der svarer til x'(t), x(t), p(t) og q(t).


Brugbart svar (0)

Svar #13
21. maj kl. 18:47 af MentorMath

#11

Det er nydeligt skrevet op og mere end fint - Det vigtige er blot at du kan redegøre for hver omskrivning :)

Mange af omskrivningerne i mit bilag, var udelukkende for forklaringens skyld og kan sagens undlades. 

PS: Vigtigt at det er den naturlige logaritmne til absolutværdien af y (som du, helt korrekt, skriver i beviset). Jeg glemte at angive, at det er absolutværdien til y i bilaget, undskyld mange gange. Vi tager absolutværdien til y, da vi ikke kan tage logaritmer til 0 eller negative tal. 


Svar #14
21. maj kl. 18:49 af CarlElias

Okay mange tak, skal jeg give beregninger til det med 1.orden et forsøg?


Brugbart svar (0)

Svar #15
21. maj kl. 19:12 af MentorMath

#14

Selvfølgelig, selv tak.

Det kan godt være, at jeg fik forklaret det uklart i #12.

Der er som sådan ikke nogle beregninger. Du skal derimod identificere funktionerne og sammenligne 

y' = ky med x'(t) + p(t)x(t) = q(t).

Se blot formen x'(t) + p(t)x(t) = q(t) som:

"en ukendt funktion differentieret + en kendt funktion gange den ukendte funktion = en anden kendt funktion" (det er formen der kategoriserer at der er tale om en lineær førsteordens diff.ligning og ikke selve funktionerne). 

Vi vil vise at differentialligningen er en lineær førsteordens differentialligning, som kan skrives på formen 

x'(t) + p(t)x(t) = q(t).

Vi ser på differentialligningen 

y' = k·y. 

Omskrivning:        (vi trækker y' fra på begge sider)

-y' + k·y = 0 ⇔     (ligningen ganges igennem med -1 på begge sider)

-(-y') - k·y = 0 ⇔

y' - k·y = 0.

Nu står diff.ligningen på den generelle form, x'(t) + p(t)x(t) = q(t).

Heraf aflæses at

x'(t) = y' 

x(t) = y

p(t) = -k (i dette tilfælde er p(t) altså en konstant funktion, vis graf er en ret linje parallel med x-aksen, som skærer y-aksen i -k).

q(t) = 0 (Når q(t) er 0, som i dette tilfælde, siges differentialligningen at være homogen - dette behøver du ikke nødvendigvis at have med, men blot noget du kan nævne som en bemækning).

Giver det mening nu, eller har du stadig spørgsmål til det?


Svar #16
21. maj kl. 19:46 af CarlElias

Nu giver det mening mange tak, vil det være en god ide at tegne grafen på maple og inkluder det som et bilag?


Brugbart svar (0)

Svar #17
21. maj kl. 20:11 af MentorMath

Dejligt, at det giver mening nu. 

Du kan sagens tegne grafen til en løsning (løsningskurven til en partiulær løsning) på Maple og vise som bilag. Det vil dog være endnu bedre, hvis du kan tegne grafen for en løsning på tavlen, når du står derinde. Du kan f.eks tage den mest simple løsning, hvor C er lig med 1 (konstanten C angiver blot løsningskurvens skæring med y-aksen). Det viser i al fald overskud, hvis du kan tegne den derinde, da det viser at du har forstået hvorfor løsningskurven ser ud som den gør. Hvis du i den forbindelse bliver bedt om, også at tegne løsningen når C f.eks er lig med 2, svarer det bare til at "skubbe" (parallelforskyde - også på fint kaldet translatere) løsningskurven, så den i stedet skærer y-aksen i 2. 

En anden ting, hvis de nu skulle spørge ind til det, så husk på, at eksponentialfunktionen altid er veldefineret. Dermed er y = Cekx også altid veldefineret, da vi blot har ganget med en konstant. Altså kan x være ethvert (reelt) tal.

Hvis der skulle dukke et spørgsmål op, eller hvis du bliver i tvivl om noget, er du selvfølgelig mere end velkommen til at skrive igen. - Ellers må du have rigtig meget held og lykke med prøven/eksamenen.


Brugbart svar (1)

Svar #18
21. maj kl. 21:28 af MentorMath

... Lige en hurtig ting mere i forlængelse af #17.

Lærer og cencor kunne måske også finde på at spørge ind til, om vi kan sætte krav til løsningen til en differentialligning. 

Det virker mærkeligt at sætte krav til en løsning, da løsningen blot ser ud som den gør. Det giver dog alligevel mening at tale om, idet vi sætter det krav til løsningen (og husk at løsningen er en funktion), at den skal kunne differentieres mindst en gang. Dette da funktionens (løsningens) afledede funktion indgår i udrykket for differentialligningen. 

Det giver altså ikke mening at snakke om en løsning, som er en funktion, der ikke kan differentieres/som ikke har nogen afledede funktion. Dette indebærer eksempelvis alle de funktioner, der er defineret over to forskellige intervaller, altså hvor der er et hul i grafen eller hvor grafen laver et knæk.

Det var ikke for at forvirre unødigt, men du må endelig ikke at lade dig forvirre, hvis du nu bliver spurgt ind til, hvorvidt vi kan stille krav til en løsning.


Skriv et svar til: Gør rede for begrebet 1. ordens differentialligninger og deres løsninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.