Matematik

Lineær regression, Vejen til Matematik B2, Opgave 183, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

11. april kl. 10:51 af ca10 - Niveau: B-niveau

Opgave 180

På Statistikbanken. dk/rnat 11 kan man ( juni 2018) finde tal for udviklingen i bruttonalproduktet (BNP) i tusinder pr. indbygger i Danmark for perioden 2003-2012.

(Min kommentar der er en fejl i teksten da i tabellen går BNP fra 2003 og til og med 2013 og ikke 2003-2012).

a) Fremstil et diagram over udviklingen, udfør lineær regression, tegn et residualplot og beregn residualspredningen.

Mit forsøg: Jeg har desværre fået slettet programmet i TI-89 Titanium. Texas Instruments så jeg kan ikke udføre regression på tabellens data og tegne et residualplot og beregne residualspredningen.

b) Vurder den lineære models anvendelighed.

c) Benyt derefter kun tallene fra 2003 til 2008 og gentag punkterne a og b.

d) Hvor meget er BNP vokset pr.år i denne periode?

e) Kommenter finanskrisens betydning for udviklingen i BNP.

Mit spørgsmål er da jeg desværre har fået slettet programmet i TI-89 Titanium. Texas Instruments så jeg kan ikke udføre regression på tabellens data og tegne et residualplot og beregne residualspredningen. Så hvordan løser man opgave a) og udføre lineær regresssion, tegner et residualplot og beregner residualspredningen?

På forhånd tak

Vedhæftet fil: OPGAVE 183 OG FACIT.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. april kl. 16:13 af StoreNord

Brug Excel eller Libreoffice Calc eller Google Sheets.

Svar #2
11. april kl. 17:14 af ca10

Til Svar #1 StoreNord

Tak for svaret.

Jeg har ikke Libreoffice eller Google Sheets. Derimod har jeg Excel, men jeg ved ikke den udgave af Excel jeg har kan udføre Lineær regression.

I skrivende stund har jeg ikke erfaring med at bruge Excel så hvordan man kan anvende Excel ved jeg ikke umiddelbart.

Men jeg må prøve at se nærmere på det.

På forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #3
11. april kl. 18:09 af jl9

Der findes også en del sider på nettet som kan, bare søg efter f.eks. "linear regression calculator".

Svar #4
11. april kl. 20:39 af ca10

Til Svar #3 ji9

Tak for svaret.

Jeg prøver.

På forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #5
11. april kl. 20:54 af StoreNord

Google Sheets på nettet er også god.

Brugbart svar (0)

Svar #6
12. april kl. 12:55 af ringstedLC

Den sorte graf viser den bedste regression for 2009 - 2012.

Vedhæftet fil:_0.png

Brugbart svar (1)

Svar #7
12. april kl. 12:57 af ringstedLC

Uden CAS til regressionen kan "Mindste kvadraters metode" anvendes:

På ovenstående figur giver den sorte graf den bedste regression fordi summen af de grønne kvadraters arealer er den mindst mulige. Fx giver den blå graf en større sum af dens (blå) kvadrater.

Forklaringen er at den mindste kvadratsum har en sum af de mindste sidelængder, og altså de mindste afstande til den bedste regression.

Siderne d_n i kvadraterne er afstandene fra punkterne(x_n , y_n) = (x_n, c(x_n)) :

$\begin{align*} d_n=a\cdot x_n +b - y_n \Rightarrow d_6 &= a\cdot 6 +b -302 = 6a+b-302 \\ {d_6}^2 &= 36a^2+6ab-1812a+6ab+b^2-302b-1812a-302b+302^2 \\ {d_6}^2 &= 36a^2+12ab-3624a+b^2-604b+302^2 \\\\ d_7 &= 7a+b-317 \\ {d_7}^2 &= 49a^2+14ab-4438a+b^2-634b+317^2 \\\\ d_8 &= 8a+b-322 \\ {d_8}^2 &= 64a^2+16ab-5152a+b^2-644b+322^2 \\\\ d_9 &= 9a+b-327 \\ {d_9}^2 &= 81a^2+18ab-5886a+b^2-654b+327^2 \\\\ {d_6}^2+{d_7}^2+{d_8}^2+{d_9}^2 &= 230a^2+60ab-19100a+4b^2-2536b +302^2+317^2+322^2+327^2 \end{}$

Højresiden omskrives til to 2. gradspolynomier af a henholdsvis b, der så differentieres:

$\begin{align*} T_6(a) &= 230a^2+60ab-19100a+k_a &&,\;k_a=4b^2-2536b+302^2+317^2+322^2+327^2 \\ T_6(a) &= 230a^2+\bigl(60b-19100\bigr)a+k_a \\ \tfrac{\mathrm{d}T_6}{\mathrm{d}a} &= 460a+60b-19100 \\\\ T_6(b) &= 4b^2+60ab-2536b+k_b &&,\;k_b=230a^2-19100a+302^2+317^2+322^2+327^2 \\ \tfrac{\mathrm{d}T_6}{\mathrm{d}b} &= 8b+60a-2536 \end{}$

for at løse ligningssystemet, der giver den mindste sum af arealerne:

$\begin{align*} \\\\ \tfrac{\mathrm{d}T_6}{\mathrm{d}a}=0=460a+60b-19100\quad &\wedge\quad 8b+60a-2536=0=\tfrac{\mathrm{d}T_6}{\mathrm{d}b} \\ 0=23a+3b-955\quad &\wedge\quad 15a+2b-634=0 \\ -8a\quad &=\quad b-321 &&\Rightarrow a=-\tfrac{1}{8}\,b+\tfrac{321}{8} \\ -\tfrac{15}{8}\,b+\tfrac{15\,\cdot\,321}{8}+\tfrac{2\,\cdot\,8}{8}\,b-634 &= 0 \\ \tfrac{-15\,+\,16}{8}\,b=\tfrac{1}{8}\,b &= -\tfrac{15\,\cdot\,321\,-\,634\,\cdot\,8}{8} \\ b &= -\bigl(15\cdot321-634\cdot8\bigr) &&\Rightarrow b=257 \\ \Rightarrow a &= -\tfrac{257}{8}+\tfrac{321}{8}=\tfrac{64}{8} &&\Rightarrow a= 8 \\ \Rightarrow c(x) &= 8x+257 \end{}$

Brugbart svar (1)

Svar #8
12. april kl. 12:58 af ringstedLC

Regressionen for 2003 - 2012 (0 - 9) kan laves på tilsvarende måde:

$\begin{align*} T(a) &= T_6(a)+{d_0}^2+...+{d_5}^2 \\ T(b) &= T_6(b)+{d_0}^2+...+{d_5}^2 \\ \tfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}a} &= \tfrac{\mathrm{d}T_6}{\mathrm{d}a}+... \\ \tfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}b} &= \tfrac{\mathrm{d}T_6}{\mathrm{d}b}+... &&\Rightarrow (a\,,b)=(...\,,...) \\\Rightarrow f(x) &=... \end{}$

Men det er dog et stort arbejde i forhold til at bruge CAS.

NB. Facitlisten har fejl (igen) ved b?-værdierne. For "a." ser det ud til, at man ikke har sat 2003 til x = 0

Svar #9
12. april kl. 13:53 af ca10

Til Svar #7 og #8 ringstedLC

Tak for svaret.

I det vedhæftede dokument ses hvor jeg har forsøg at anvende Excel (https://www.bing.com/videos/riverview/relatedvideo?q=Line%c3%a6r+regression&mid=AA18912FBDCDACF9843CAA18912FBDCDACF9843C&churl=https%3a%2f%2fwww.youtube.com%2fchannel%2fUCGzHE1CVmwTlRYGK82TRMjQ&FORM=VIRE)

til at udføre Lineær regression.

Der må være noget der gået galt da jeg i a) får y = 5,7364x -11217.

I facitlisten er i a) y = 6,8788x - 13508.

Mit spørgsmål er, hvad har jeg gjort forkert?

På forhånd tak.

Vedhæftet fil:OPGAVE 183.xlsx

Brugbart svar (1)

Svar #10
12. april kl. 14:16 af jl9

Med data fra 2003-2013 får jeg resultat Y = 5.736*X - 11217 og residual SD 10.52. Der må være en fejl i facit.

Med data fra 2003-2008 får jeg samme resultat som facit.

Svar #11
12. april kl. 14:35 af ca10

Til Svar #10 jl9

Tak for svaret.

På forhånd tak

Svar #12
12. april kl. 16:48 af ca10

I a) skal man tegne et residualplot og beregn residualspredningen.

Mit spørgsmål er, hvordan tegner man residualplot og beregner residualspredningen. Kan man også anvende Excel til at tegne et residualplot og beregne residualspredningen?

På forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #13
12. april kl. 17:48 af jl9

Hvis du har en kolonne A med de 11 "korrekte" BNP tal, og en kolonne B med de 11 estimerede tal (dem som ligger på den "bedst fittede" lige linje), så er det egentlig bare at lave en kolonne C hvor hver række er kolonne A minus kolonne B. Og så lave et Scatter Chart af kolonne C.

Fejlen af residualerne r af de n datapunkter kunne bestemmes med:

$\sqrt{\frac{\sum_n{r_n^2}}{n-2}}$

Brugbart svar (1)

Svar #14
12. april kl. 18:53 af ringstedLC

I #7 og #8 har jeg misset datasættet for året 2013 som medttaget giver:

$\begin{align*} (a\,,b) &= (7,258)\;{\color{Red}\neq}\;(8,257) \\ \Rightarrow c(x) &= 7x+258 \end{}$

Brugbart svar (1)

Svar #15
12. april kl. 19:06 af ringstedLC

#10
Med data fra 2003-2008 får jeg samme resultat som facit.

Facit siger y = 12,200x + 24176

Uanset om året 2003 lægges ved x = 0 eller ej; når hældningstallet er positivt kan b-værdien ikke være så stor i forhold til y-data.

Brugbart svar (1)

Svar #16
12. april kl. 19:13 af jl9

#15

Du har ret, beklager, jeg får: Y = 12.20*X - 24176

Altså med minus og ikke plus

Svar #17
13. april kl. 11:31 af ca10

Til Svar #14 og #15 ringstedLC

I factitlisten er c) y = 12,200x + 24176 og du får c(x) = 7x + 258 så der må være en fejl i facitlisten da b-værdien i y = 12,200x + 24176 er for stor.

Tabellen:

Udviklngen i bruttonationaproduktet (BNP) i tusinder pr. indbygger i Danmark for perioden 2003 - 2013

År 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2012 2013
BNP 260 271 285 300 319 302 302 317 322 327

Hvis tallet b = 24176 og y (o) = 12,200 • 0 + 24176 = 24176. og x er årstallet

Og y(x) = 12,200x + 24176 = 0 ⇒ 12,200x + 24176 = 0 ⇒ 12,200x = -24176 ⇒ x = -3514.

Det giver ingen mening.

Det pudsige er, at hvis man ændre tallene i Excel når man i c) og man skal kun bruge tallene fra 2003 til 2008 (se det vedhæftede dokument) så ændres tendenslinjen og man får y = 12,2x - 24176.

Hvis y( 0) = 12,2x - 24176 = 0. 12,2x - 24176 = 0 ⇒ 12,2x = 24176 ⇒ x = 1981. Så skulle BNP være 24176 i året 1981. Det giver heller ingen mening.

Det mindste tal i tabellen i er i år 2003 hvor BNP er 260 ( målt i tusinder pr. indbygger 260000 og og i år 2013 er BNP 327 (målt i tusinder pr. indbygger 327000).

Men det kan være mig der har regnet forkert.

Så det er måske således at når man anvender Excel og anvender tallene i i perioden 2003 - 2008 så er

y = 12,2x - 24176 og facitlistens facit y = 12,200x + 24176.

Så det må være en trykfejl i facitlisten.

På forhånd tak

Vedhæftet fil:OPGAVE 183.xlsx

Brugbart svar (1)

Svar #18
13. april kl. 19:04 af ringstedLC

#17
Til Svar #14 og #15 ringstedLC

I factitlisten er c) y = 12,200x + 24176 og du får c(x) = 7x + 258 så der må være en fejl i facitlisten da b-værdien i y = 12,200x + 24176 er for stor.

Grafen i #6 og beregningen i #7 er for perioden 2009 - 2012 (6 ≤ x ≤ 9) , - og altså ikke for perioden 2003 - 2008. Og som sagt var der fejl i mine anvendte data.

Brugbart svar (1)

Svar #19
13. april kl. 19:47 af ringstedLC

#17
Tabellen:

Udviklngen i bruttonationaproduktet (BNP) i tusinder pr. indbygger i Danmark for perioden 2003 - 2013

År 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2012 2013
BNP 260 271 285 300 319 302 302 317 322 327

Hvis tallet b = 24176 og y (o) = 12,200 • 0 + 24176 = 24176. og x er årstallet

Og y(x) = 12,200x + 24176 = 0 ⇒ 12,200x + 24176 = 0 ⇒ 12,200x = -24176 ⇒ x = -3514.

Det giver ingen mening.

Men det kan være mig der har regnet forkert.

$\begin{align*} 12.2x+24176 &= 0\quad\Rightarrow x=-{\color{Red}1982} \\ 12.2x\,{\color{Red}-}\,24176 &= 0\quad\Rightarrow x=1982 \end{}$

Hvilket så skulle betyde at BNP var "0" i 1982 og -24176 i år 0. Og godt nok kalder vi det for fattigfirserne, men så slemt var det altså ikke.

I den slags opgaver plejer teksten at være: "... , hvor x er antal år efter begyndelsesåret", (her 2003) således at det første datasæt bliver (0, y(0)). Der laves så regression på dataserien og den giver så en tendens(linje) for fremtiden. Fortiden (her før 2003) kan jo altid bare findes i Danmarks Statistik.

#17
Hvis y( 0) = 12,2x - 24176 = 0. 12,2x - 24176 = 0 ⇒ 12,2x = 24176 ⇒ x = 1981. Så skulle BNP være 24176 i året 1981. Det giver heller ingen mening.

Nej, på grund af ovenstående.

Svar #20
14. april kl. 07:30 af ca10

Til Svar #17 ringstedLC

Tak for svaret.

Det kan være der er en fejl i de tal i tabellen som forfatterne har anvendt.

Jeg har ikke være inde på Statistikbanken. dk/rnat 11 for at finde ( juni 2018) tal for udviklingen i bruttonalproduktet (BNP) i tusinder pr. indbygger i Danmark for perioden 2003-2012.

Men det kunne være man skulle kontrollere deres tal.

På for hånd tak

Forrige 1 2 Næste

Der er 26 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.