Lipschitz betingelse

Hej alle!

Jeg er ved at skrive et projekt om differentialligninger, og i den forbindelse er jeg ved at bevise sætningen om eksistens og entydighed af en løsning. Jeg har givet følgende (hvis nogle hellere vil læse nedenstående i Latex, så har jeg skrevet det nederst i indlægget - dog skal det kompiles):

f: [t_0-a,t_0+a] X [x_1-b_1,x_1+b_1] X [x_2-b_2,x_2+b_2] -> R^2

Alle disse størrelser er i de reelle tal.

Med X menes det kartesiske produkt.

En af betingelserne er, at en funktion f opfylder en lokal lipschitz betinglse, dvs.:

Der eksisterer K > 0: ||f(t,x)-f(t,y)|| =< K ||x-y||
for alle t i [t_0-a,t_0+a],
og for alle x,y i [x_1-b_1,x_1+b_1] X [x_2-b_2,x_2+b_2]


Mit spørgsmål går på, hvor t'erne forsvinder hen på højresiden af ulighedstegnet i ||f(t,x)-f(t,y)|| =< K ||x-y||

Jeg har kun været i stand til at finde en definition på en lipschitz betingelse mellem to metriske rum eller af en funktion, som gik fra de reelle tal til de reelle tal. Ingen af dem har jeg kunnet få til at passe med ovenstående.



Latex-koden:
Lad $\mathbf{x}:[t_0-h,t_0+h]ightarrow \mathbb{R}^2$ være en funktion, hvor $h\in\mathbb{R}_+$, og $t_0\in\mathbb{R}$.\Lad $a\in\mathbb{R}, \mathbf{b}=\left[\begin{smallmatrix}b_1\\b_2\end{smallmatrix}ight], \tilde{\mathbf{x}}=\left[\begin{smallmatrix}\tilde{x}_1\\\tilde{x}_2\end{smallmatrix}ight]\in\mathbb{R}^2$.\Sæt
\begin{align*}
\mathcal{T}&=[t_0-a,t_0+a]\\mathcal{M}&=[\tilde{x}_1-b_1,\tilde{x}_1+b_1] \times [\tilde{x}_2-b_2,\tilde{x}_2+b_2]
\end{align*}

Lad $f:\mathcal{T}\times\mathcal{M}ightarrow \mathbb{R}^2$ være en funktion, som er kontinuert på $\mathcal{T}\times\mathcal{M}$ og opfylder en lokal lipschitz betingelse. Sidstnævnte betyder, at
\begin{align*}
&\exists k_{\mathcal{T}\times\mathcal{M}}>0:\bigl|\bigl|\mathbf{f}(t,\mathbf{x}_1)-\mathbf{f}(t,\mathbf{x}_2)\bigr|\bigr|\leq k_{\mathcal{T}\times\mathcal{M}}||\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_2||,\&\forall t\in \mathcal{T}, \ \mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2\in\mathcal{M}
\end{align*}
Da eksisterer $h\in\mathbb{R}_+$, så der findes en entydig, lokal løsning til begyndelsesværdiproblemet
\begin{equation}
\frac{d\mathbf{x}}{dt}=\mathbf{f}\bigl(t,\mathbf{x}(t)\bigr), \quad \mathbf{x}(t_0)=\tilde{\mathbf{x}}
\label{eq:beg_problem_eoge}
\end{equation}