Matematik

Komplekse tal

16. december 2006 af Tmalling (Slettet)

hej hej

Vil høre om der var nogen som kunne hjælpe mig med at løse ligningen log(z) = 5 + 2i

har prøvet at bruge formlen logw = ln(w)+iarg, men kan ikke få det til at passe???

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. december 2006 af sigmund (Slettet)

Du skal altså løse ligningen log(z) = 5+2i. Logaritmen af et komplekst tal z er

log(z) = ln(|z|) + i*arg(z),

hvor |z| er z's modulus og arg(z) er argumentet af z.

Således kan ligningen omskrives til

ln(|z|) + i*arg(z) = 5 + 2i,

og problemet består i at finde et komplekst tal z med modulus 5 og argument 2.

Brugbart svar (0)

Svar #2
16. december 2006 af sigmund (Slettet)

Videre fra #1:

Et tal, der opfylder betingelserne, fås let af Eulers formel. Dog skal du huske på, at for at få alle løsninger med, må et multiplum af 2*pi tilføjes. (Denne sidste sætning kunne måske udtrykkes mere præcist, men du forstår vel, hvad du skal gøre?)

Svar #3
16. december 2006 af Tmalling (Slettet)

mange tak... men burde man ikke også at kunne finde et tal med modulus på 5 og arg 2, ved hjælp af polarformen: 5*(cos(2)+isin(2))??? så får jeg -2+4,5i.

Hvis jeg så tager log af det, burde det vel give 5+2i - men det gør det slet ikke???

Er lidt forvirret

Brugbart svar (0)

Svar #4
16. december 2006 af sigmund (Slettet)

#3,

Jeg ser, at jeg har lavet en fejl i #1. Det er ln til modulus, der skal være 5. Et tal, der opfylder dette, skulle være e^5*(cos(2)+i*sin(2)).

Brugbart svar (0)

Svar #5
16. december 2006 af sigmund (Slettet)

#4,

Efter dette krumspring kan vi konstatere, at løsningen er

z = e^5*[cos(2+2*k*pi)+i*sin(2+2*k*pi)].

Det samme kunne vi have opnået ved at tage exp() til begge sider af ligningen. Så ville vi få

z = e^(5+i(2+2*k*pi)),

som jo er ækvivalent med førstnævnte form.

I det ovenstående er k E Z, dvs. positive og negative heltal samt 0.

Svar #6
16. december 2006 af Tmalling (Slettet)

Tusind tak... det er jeg glad for.
Men tænker stadig at hvis man nu tager logaritmen af det fudne z - burde det så ikke give 5 + 2i ???

Brugbart svar (0)

Svar #7
16. december 2006 af sigmund (Slettet)

#6,

Jo, log(z) skulle nu gerne være 5 + 2i. Er den ikke det?

Svar #8
18. december 2006 af Tmalling (Slettet)

Nej, det passer kun hvis man bruger ln???

ln((e^5)*(cos(2)+isin(2))... men der står jo log, i min opgave???

Brugbart svar (0)

Svar #9
18. december 2006 af sigmund (Slettet)

#8,

Er din opgave fra en dansk bog, eller hvad? I videregående tekster tænkes der på den naturlige logaritme (med gundtal e), når der skrives log. I gymnasiet tænkes der derimod på logaritmen med grundtal 10, når der skrives log. Den naturlige logaritme betegnes ln.

I formlen for logaritmen af et komplekst tal z er log den naturlige logaritme. Det ses også på http://mathworld.wolfram.com/NaturalLogarithm.html , hvor der bl.a. står

"The natural logarithm can be analytically continued to complex numbers as ln(z)=ln(|z|)+i*arg(z), where |z| is the complex modulus and arg(z) is the complex argument."

Men igen, er din opgave fra en dansk eller engelsk bog, og har du formlen fra samme bog som opgaven?

Jeg skal indrømme, at dette kan virke forvirrende for en gymnasieelev, der jo får at vide, at log er logaritmen med grundtal 10 og ln er logaritmen med grundtal e. Går man så lidt videre end det obligatoriske gymnasiepensum, støder man på betegnelsen log for den naturlige logaritme også.

Svar #10
18. december 2006 af Tmalling (Slettet)

Opgaven er: Løs ligningen log(z) = 5 + 2i, som min lærer har stillet...

Jeg har arbejdet ud fra en dansk bog af Jens Carstensen, "Komplekse tal".

Men det kan være jeg bare skal se log, som lig med ln??? selvom det ikke er det vi har lært, ind til videre...

Svar #11
18. december 2006 af Tmalling (Slettet)

Glemte lige, at det eneste der står i bogen om at log skulle være ens med ln, det er at Log(z)= ln(z), når z er reelt tal...

fordi Log(3) = ln3 + iarg3 = ln3...

Skriv et svar til: Komplekse tal

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.