Matematik
Taylorpolynomium - restled
17. december 2006 af
03y (Slettet)
Hej
Jeg har funktionen f(x)= 0.5sin(2x) + sin(x)
Jeg har udledt Taylorpolynomiet af tredje grad for f(x) i x = pi/2:
P(3)(x) = 1-(x-(pi/2)) - 0.5(x-(pi/2))^(2) + 2/3(x-(pi/2))^(3)
Jeg skal nu bestemme restleddet:
R(3)(x) = (f'(z)/4!)(x-(pi/2))^(4)
Jeg indsætter:
R(3)(x) = (sin(2z) * 8 + sin(z))/4! * (x-(pi/2))^(4)
Herefter skal jeg give en vurdering af den numerisk største værdi af restleddet i intervallet
|x-(pi/2)| <= pi/4 (hvor <= betyder mindre end eller lig med)
Sinus kan højst være 1, hvorfor z skal vælges som 0.5. Leddet x-(pi/2) kan numerisk højst være pi/4. Disse indsætter jeg i R(3)(x) og får, at |R(3)(x)|>= 0,13...
Men facitlisten siger |R(3)(x)|>= 0,15
Hvor sker der en fejl?
Jeg har funktionen f(x)= 0.5sin(2x) + sin(x)
Jeg har udledt Taylorpolynomiet af tredje grad for f(x) i x = pi/2:
P(3)(x) = 1-(x-(pi/2)) - 0.5(x-(pi/2))^(2) + 2/3(x-(pi/2))^(3)
Jeg skal nu bestemme restleddet:
R(3)(x) = (f'(z)/4!)(x-(pi/2))^(4)
Jeg indsætter:
R(3)(x) = (sin(2z) * 8 + sin(z))/4! * (x-(pi/2))^(4)
Herefter skal jeg give en vurdering af den numerisk største værdi af restleddet i intervallet
|x-(pi/2)| <= pi/4 (hvor <= betyder mindre end eller lig med)
Sinus kan højst være 1, hvorfor z skal vælges som 0.5. Leddet x-(pi/2) kan numerisk højst være pi/4. Disse indsætter jeg i R(3)(x) og får, at |R(3)(x)|>= 0,13...
Men facitlisten siger |R(3)(x)|>= 0,15
Hvor sker der en fejl?
Svar #1
19. december 2006 af fixer (Slettet)
Det forstår jeg nu heller ikke. En hastig funktionsundersøgelse på f'''' i det interessante interval [pi/4;3pi/4] afslører at den har globalt max. i x ~ 0.807 og globalt min. i x=3pi/4. Og så får man |R_3(x)| =< 0.138. Med forbehold for regnefejl.
Svar #2
19. december 2006 af 03y (Slettet)
Ok
Kan se, at jeg har lavet en lille fejl. z skal selvfølgelig vælges som pi/4 og således får jeg også
|R_3(x)| =< 0.138
Der står dog i min lærebog følgende:
R_3(x)= f''''(z)/4! * (x-a)^(4),
hvor z er et eller andet tal mellem a og x.
I dette tilfælde vælger vi z = pi/4, men x vælges som højst 3/4pi og a som pi/2. Vores valgte z ligger ikke imellem disse tal, hvordan kan det så passe?
Kan se, at jeg har lavet en lille fejl. z skal selvfølgelig vælges som pi/4 og således får jeg også
|R_3(x)| =< 0.138
Der står dog i min lærebog følgende:
R_3(x)= f''''(z)/4! * (x-a)^(4),
hvor z er et eller andet tal mellem a og x.
I dette tilfælde vælger vi z = pi/4, men x vælges som højst 3/4pi og a som pi/2. Vores valgte z ligger ikke imellem disse tal, hvordan kan det så passe?
Svar #3
20. december 2006 af fixer (Slettet)
Jo det gør. Som også nævnt i #1.
Betingelsen |x-(pi/2)| er opfyldt for alle x i [pi/4;3pi/4]. Vælges specielt x = pi/4, så skal argumentet, der anvendes ved vurderingen af restleddet, opfylde pi/4<x<pi/2. Da restleddet har maximum for z~0.807, hvilket ligger indenfor nævnte grænser, er der ingen problemer.
Betingelsen |x-(pi/2)| er opfyldt for alle x i [pi/4;3pi/4]. Vælges specielt x = pi/4, så skal argumentet, der anvendes ved vurderingen af restleddet, opfylde pi/4<x<pi/2. Da restleddet har maximum for z~0.807, hvilket ligger indenfor nævnte grænser, er der ingen problemer.
Skriv et svar til: Taylorpolynomium - restled
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.