pi/4=2arctan(1/3)+arctan(1/7)

Det skal i alt fald gælde, at:
tan(Pi/4) = tan(2*arctan(1/3)+arctan(1/7))

Hvilket niveau er det på?

//Sentinox

det er 3.g SSO

#2,

Du kan bruge formlerne (8) og (10) på http://mathworld.wolfram.com/Tangent.html til at vise, at tan(2*arctan(1/3)+arctan(1/7)) = 1.

en som evt kunne uddybe lidt?

#4,

Ja, vi ønsker at vise, at

pi/4 = 2arctan(1/3) + arctan(1/7).

Som bekendt, så må vi gøre hvad vi vil med en ligning, bare vi gør det på begge sider af lighedstegnet.
Her kunne det være smart at tage tangens til begge sider, thi tangens og arcustangens ophæver hinanden. Tages tangens på begge sider af lighedstegnet, fås

(**) tan(pi/4) = tan(2arctan(1/3) + arctan(1/7)).

Formel (8) i linket i #3 giver tangens til summen av to vinkler a og b. Fra denne fås

(++) tan(2arctan(1/3) + arctan(1/7)) = {tan(2arctan(1/3)) + tan(arctan(1/7))}/{1-tan(2arctan(1/3))*tan(arctan(1/7))} = {tan(2arctan(1/3)) + 1/7}/{1-tan(2arctan(1/3))*1/7}.

Formel (10) i førnævnte link giver tangens til den dobbelte vinkel 2*a. Fra denne fås

tan(2arctan(1/3)) = 2*tan(arctan(1/3))/{1-tan(arctan(1/3))²} = (2*1/3)/(1-(1/3)²) = (2/3)/(8/9) = 3/4.

Sætter ind i (++) ovenfor, får vi

{3/4 + 1/7}/{1-3/4*1/7} = (25/28)/(25/28) = 1.

Vi har nu vist, at højresiden i (**) er lig 1. Vestresiden i (**) er også 1 (du ved, at tan(pi/4)=1, thi cos(pi/4)=sin(pi/4)).

Dermed har vi, via tangens, vist, at

pi/4 = 2arctan(1/3) + arctan(1/7).

----

Kan du følge beregningerne?

ja det var lige hvad jeg havde brug for, var ikek så svært som jeg havde regnet med. mange tak