Algebra

Af tidshensyn, lad os tage dem stykkevist(andre kan sikkert også hjælpe).

1) Fordi d er det mindste positive tal i H. Hvis r er positiv og mindre end d brydes dette faktum.

2) Er det nemmere for dig at forstå den tomme sum? Den tomme sum er nul. Eksemplificeret kan vi summere 0 instanser af tallet n, og skrive det som produktet 0n, og får da 0n = 0. Meget intuitivt.

Det tomme produkt er, når vi taler om tal, altid 1. Vi kan jo nemlig bruge logaritmereglerne til at skrive

n_1*n_2*n_3*...*n_i = exp(log(n_1)+log(n_2)+...+log(n_i))

Tager vi en tom mængde, altså ingen n_i, så er summen på højresiden den tomme sum. Og så står der, at det tomme produkt er lig exp(0)=1.

Så blev der lidt tid igen:

3a) Hvis m har lavere orden, k, end det så skal km=N. Men det kan ikke passe da dm=N. Altså må k=d. Jeg antager N = |G| ?

3b) Notation? Er der indført en relation ~ således at to elementer x~y hvis og kun hvis = ?

4) Hvis en permutation i S_n kan skrives som produktet af r transpositioner er dens fortegn (-1)^r. Hvad er så fortegnet for en k-cyclus? Eftersom

(i_1 i_2 i_3 ... i_k) = (i_1 i_k)(i_1 i_(k-1))...(i_1 i_2)

med k-1 transpositioner på højresiden, er dens fortegn (-1)^(k-1). Altså: hvis en cycles har lige længde er dens fortegn -, har den ulige længde er dens fortegn +.

Nå, der sker tilsyneladende ikke mere i denne tråd. Men lad mig lige uddybe min forvirring m.h.t. spørgsmål 3b.

Normalt benytter jeg [] til at betegne (ækvivalens)klasser og <> til at betegne generatorer. Du kan ikke automatisk gå ud fra, at den notation, der benyttes i dit lærebogssystem, er universel.

En langt mere forvirrende ting er at du skriver sfd(a,d). Betragter vi ikke arbitrære cykliske grupper? Enhver cycklisk gruppe af orden n er isomorf med restklassegruppen addition modulo n. Det virker som om, det er dem, du kigger på. Det burde du nok skrive, så ville det være mindre forvirrende.

Med det in mente, er det korrekt at = . Thi b er et heltal, og elementet bd, hvor d=|H|, derfor ækvivalent med 0, det neutrale element.

Hvad fanden, seneste indlæg nu placeret øverst...

Jeg hygger mig rigtigt i den her tråd. Nu er der tilsyneladende sket det, at årsagen til den fejlagtige datering af de oprindelige indlæg (01-04 fremfo 04-01) nu er udbedret. De nye indlæg dateres nu korrekt, men indskydes før de gamle, forkert daterede. Efterhånden ønsker jeg den nye version hen hvor peberet gror.

Hej Martin

(Andre er selvfølgelig også mere end velkomne til at aflaste Martin og komme med bud på nedenstående spørgsmål :) )

Endnu engang tak for din hjælp! :) Det er godt nok forvirrende med den måde, indlæggene står på. Men nu har jeg fået pensum læst igennem, så fik et pusterum til at se på dine svar (der er dog også dukket flere spørgsmål op, men dem kan vi tage om lidt).

1) Selvfølgelig :) Det stod bare så langt oppe i beviset, at jeg havde glemt alt om det.

2) Det går væsentligt bedre nu, efter du fik introduceret mig for den tomme sum!

3a) Du har ret i, at N=|G|. Tak, nu forstår jeg det!

3b) Det må du undskylde. Jo, vi betragter netop Z/NZ. Din forklaring i dit sidste indlæg hjalp på forståelsen.

Lige en note: I denne bog benyttes også < > i forbindelse med frembringere. Men jeg har nok fået gjort dig forvirret ved at undlade at oplyse, at vi ser på Z/NZ.

4) "Hvis en permutation i S_n kan skrives som produktet af r transpositioner er dens fortegn (-1)^r.". Er det ikke kun, hvis disse transpositioner er simple? Således at antallet af simple transpositioner er n(sigma), hvor sigma er permutationen. Her betegner n(sigma) antallet af inversioner.




Her følger de nye spørgsmål, som jeg forhåbentligt kan lokke dig til at se på:

5) Maksimalidealer:

"... Vi har bevist, at hvis R/I er et legeme, så er I et ideal, der opfylder, at hvis I er en ægte delmængde af J, så er J=R, hvor J er et ideal af R. Om I skal derudover gælde, at I forskellig fra R."

Hvorfor er det nødvendigt, at I er forskellig fra R? For hvis I=R, eksisterer der jo ikke noget J, som I er en ægte delmængde af.

6) Lemma: "Lad R være et hovedidealområde og r et element forskellig fra nul. Så har r en irreducibel faktorisering.

Skal der om r ikke gælde, at r \in R* ? Hvor R* er mængden af enheder. I beviset antages nemlig, at r \in R*.

Hvorfor er

uendelig
U
i=1

et ideal i R?

delmængde af delmængde af ...
(en opstigende kæde af idealer)

7) I forbindelse med en største fælles divisor i en ring. Hvis x er en største fælles divisor. Hvorfor kan associerede elementer til x bruges som en største fælles divisor?

Er definitionen på associerede elementer blot, at der eksisterer en enhed u, så x=uy, hvormed x og y er associerede?

8) Hvis r er irreducibel og u en enhed, hvorfor er ur så irreducibel?

9) Sætning: "Lad R være en ring (vores forelæser siger integritetsområde) for hvilket ethvert element i R*, som er forskellig fra nul har en faktorisering i irreducible elementer. ethvert irreducibelt element er et primelement i R <=> R er en faktoriel ring."

I beviset skrives: "Antag, at x \in R er et element forskellig fra nul med to faktoriseringer ..."
Hvorfor skal der ikke vælges et x \in R*? For det er vel de elementer, som sætninger udtaler sig om?

10) Polynomringe:

Hvis aX^m | bX^n, så er n >= m og b=ca for et unikt c. Hvorfor er c unik? Det er sikkert så simpelt, at det er pinligt - måske er jeg bare træt nu.


Det var vist dem! Nu vil jeg slappe lidt af, inden det går løs i morgen igen.

Har du egentlig nogle gode erfaringer, mht. hvordan det kan være godt at læse op til en matematikeksamen?
Jeg har efterhånden (hvis du svarer på mine sidste spørgsmål :) ) fået styr på hele pensum. Så har jeg tre dage, hvor jeg regner med at kunne nå at gennemgå alle de beviser, som jeg har tænkt mig at vise 1 gang hver. Men det er jo langt fra nok til at huske dem. Det er det, jeg er mest nervøs for. Der er jo så mange skridt i hvert bevis. Du kan godt mærke, at jeg er ved at være nervøs? ;)

Generelt skal du være opmærksom på, at forskellige fremstillinger anvender forskellige definitioner på et integritetsområde. I nogle fremstillinger defineres et integritetsområde som en ring hvori nulreglen gælder. I andre som en kommutativ ring med et-element hvori nulreglen gælder. Sørg derfor altid at gøre opmærksom på, hvad du forstår ved et integritetsområde.

4)
Klap dig selv på skulderen, Sabrina! Det er godt set.

Nej. For hvis en permutation kan skrives som et produkt af transpositioner på to forskellige måder

sigma = (t_1)(t_2)..(t_r) = (t_1)(t_2)...(t_r')

så gælder at r er ækvivalent med r' mod 2; r == r' mod 2. Derfor er fortegnsdefinitionen uafhængig af på hvilken form transpositionerne er. Beviset for, at der forholder sig således er forholdsvist enkelt. Ideen er at opskrive identitetspermutationen som et produkt af r+r' transpositioner og vise at det er et lige antal permutationer. Vi kan diskutere det ved en senere lejlighed hvis det bliver aktuelt.

5)
Definitionsmæssigt skal et maksimalideal være et ægte ideal. Det er korrekt at R selv er et (trivielt) ideal. Men det kræves altså af et maksimalideal at det er et ægte ideal og maksimalt med hensyn til inklusion af delmængder blandt de ægte delmængder.

Overvej også værdien af en definition, der tillader hele ringen at være et maksimalideal. Så har alle ringe et maksimalideal. Det ville ikke være særligt nyttigt. Så ville vi f.eks. om et ideal I i ringen Z af heltal ikke kunne sige, at det er maksimalt hvis og kun hvis I = (p) hvor p er et primtal.

6)
Jo. I ethvert hovedidealområde har alle elementer en entydig irreducibel opløsning. Men det er en løsagtig skrivemåde, for med "alle elementer" mener man faktisk elementer som ikke er 0 eller en enhed.

At r\in R har en opløsning betyder, at r kan fremstilles som r=d1*d2*..*dn hvor di\in R er faktorerne. Opløsningen er irreducibel hvis enhver af faktorerne er irreducibel. Om enhver af _faktorerne_ di skal gælde at den ikke er 0 eller en enhed og kun har trivielle divisorer. Det sidste er det samme som at sige, at di = ab hvor a eller b er en enhed og den anden er associeret med di.

Eftersom spørgsmålet er stillet under (6) går jeg ud fra, vi stadig betragter et hovedidealområde. Dit spørgsmål lyder derfor:

Hvorfor er foreningsmængden af en uendelig følge af hovedidealer ordnet ved skarpe inklusioner et ideal?

Lad I være foreningsmængden af idealerne og udvælg to elementer a, b \in I. Da vil a \in og b \in for passende valg af i og j. Uden tab af generalisering kan antages at i \leq j. Så er \subseteq og derfor er både a og b indeholdt i . Eftersom er et ideal vil også a+b \ in og dermed ligger a+b i foreningsmængden I. Nulelementet ligger naturligvis i [hvorfor?] og derfor i foreningsmængden I. Altså er I et ideal, tilmed et hovedideal ifølge forudsætningen om at ringen er et hovedidealområde.

Herfra er der ikke langt til at vise, at ethvert element i et hovedidealområde har en irreducibel opløsning.

Jeg har bestræbt mig på at bruge din notation for hovedidealerne. Normalt skriver jeg (a_i).

7)
Er du sikker på du ikke mener integritetsområde fremfor en ring?

Mht. spørgsmålet er det korekt: største fælles divisor er entydig pånær associering. Hvis nemlig både d1 og d2 er en største fælles divisor for a,b, så er d1 divisor i d2 og d2 divisor i d1 og derfor er d1 og d2 associerede.

Ja, a og a' er assicierede hvis der findes en enhed u således at a'=ua.

8)
Fordi ur kun har trivielle divisorer. De trivielle divisorer i et element a er jo netop enhederne og elementerne associeret med a. Se også første del af svaret på (6).

9) Jo. Se (6). En enhed kan per definition ikke være irreducibel.

Skal sætningen føre til en definition af UFD ?

10)
Det fatter jeg heller ikke. I almindelighed kan et element a i en ring R have mere end een (højre)invers (og har i så fald uendeligt mange af dem). Er du sikker på, der ikke er forudsat andet om R, såsom at den er et UFD ?

#5
ad 4)
"g vise at det er et lige antal permutationer"

->

"g vise at det er et lige antal transpositioner"

Hej Martin

Jeg er lige blevet færdig med at læse for i dag, så kan ikke overskue at læse dit svar, men vil gøre det i morgen. 1000 tak for det :)

Der er dukket yderligere to spørgsmål op. Begge er i forbindelse med det samme bevis, som 3b omhandler.

11) "Da H er en unik undergruppe af orden d, er elementerne af orden d i G i en-til-en korrespondance med frembringerne for H". Men er elementerne af orden d ikke netop frembringerne for H, så det faktisk er de samme elementer? Det er måske blot det, bogen udtrykker?


12) Jeg skal bevise, at gcd(a,d)=1 => [a] en frembringer for H.

"[a] er nødt til at være en frembringer for H: Hvis [ia]=[0], så d|ai => d|i"

Er det korrekt, at [a] dermed er en frembringer for H, idet d=i. Da f.eks. i=2d ikke er muligt, da |H|=d?

Atter engang tak for svaret. Jeg har kun nået at skimme det, da jeg meget gerne ville fange dig til et par sidste spørgsmål, inden jeg skal til eksamen (håber virkelig jeg når det :) ).

Jeg så dog det, at du under 6) har skrevet:
"I ethvert hovedidealområde har alle elementer en entydig irreducibel opløsning. Men det er en løsagtig skrivemåde, for med "alle elementer" mener man faktisk elementer som ikke er 0 eller en enhed."

Er der nogen grund til, at man skriver "alle elementer" så? Det er jo højst misvisende.


13) r \in R\(R* u {0}) er ikke et produkt af irreducible elementer => r ikke irreducibel.
Hvorfor ikke?

Så også lige svaret til 10). Jeps, sætningen siger bare "Let d be a non-zero polynomial in R[X] ... "
Ingen oplysninger om R."

6) I forbindelse med det sidste:
0 \in , da ={x*a_1 |x \in R}, vælg x=0.

Men mangler vi ikke stadig at bevise, at ethvert element i I har et inverst i I?
Og for alle x \in I og r \in R: xr \in I?

Hej igen

Jeg har et aller-aller sidste spørgsmål (et løfte herfra).

14) Det er beviset for, at hvis f er et monisk polynomium af grad n, så kan elementerne i kvotientringen R[X]/ noteres unikt som polynomier af grad : q=qf+r, hvor r=0 eller r
eq 0 og deg(r) der eksisterer q \in R[X], så r_1-r_2=qf => r_1=r_2.
Så ethvert element forskellig fra nul i R[X]/ kan skrives unikt som [g], hvor deg(g)<n og g\in R[X]\{0}. Skrives det ud fås:
[g]=[b_0+b_1X+...+b_(n-1)X^(n-1) =b_0+b_1*alpha+...+b_(n-1)*alpha^(n-1), hvor alpha=[X]"

Hvordan kan de ud fra det foregående se, at "ethvert element forskellig fra nul i kvotientgruppen kan skrives unikt som ..."?

Hvordan fås, at [b_0+b_1X + ...] = b_0+b_1[X]+...?



Lige et sidespørgsmål: Er det helt fint at skrive x\in R\(R^* forenet med {0}) ?

12)
Ok, hvis du argumenterer for hvorfor d ikke er divisor i a.

Helt generelt gælder i øvrigt at hvis a har orden n, så er = hvis og kun hvis gcd(n,i) = gcd (n,j). Specielt gælder derfor at = hviss r og a's orden er indbyrdes primiske, gcd(n,r)=1.

#8
Ikke misvisende; obskurt måske. Så snart man betegner et element som irreducibelt ved man det ikke er en enhed eller 0. Derfor ligger det i udsagnet "alle elementer" underforstået at man fraregner enheder og 0. Men jeg vil give dig ret i, det er en kedelig skik at være så hemmelighedsfuld.

13)
Jeg ved ikke hvilken del af udsagnet dit "hvorfor ikke?" går på. Men hvis r ikke er et produkt af irreducible elementer, så er r ikke irreducibel per definition; r er irreducibel hviss den er et produkt af irreducible elementer.

#9
Jo, undskyld, det troede jeg var oplagt.

Hvis a og b er elementer i foreningsmængden findes et som indeholder dem begge, hvorfor a + b \in . Eftersom _er_ et ideal, så ligger ax \in , altså i foreningsmængden, for alle x \in R.

#10

14)
Du må have skrevet forkert. For der gælder g = qf + r. Og i faktorringen er [qf]=[0] og derfor bliver g og r ækvivalente. Altså er ethvert polunomium i faktorringen af grad < n.

Dernæst vises at hvis to polynomier af grad < n i R[X] ligger i samme ækvivalensklasse i faktorringen, så er de identiske. Thi der gælder så r1 - r2 = qf. Men r1,r2 er af grad < n og f af grad n, så r1 = r2.

Konklusion: Ethvert element (forskelligt fra 0) i faktorringen kan skrives unikt som ækvivalensklassen [g] bestående af polynomiet g \in R[X] af grad < n.

Selve skrivemåden følger af sædvanlig regning med ækvivalesklasser og alpha indføres som et element i faktorringen - det er ikke det samme som pladsholderen X i R[X]. Elementerne i faktorringen er ækvivalensklasser.

Tju-bang, hvor det gik. Håber ikke jeg fik vrøvlet i skyndingem.

Hej Martin

Tak, fordi du nåede det! :)
Jeg nåede at læse alle dine svar igennem inden eksamen. Men har først nu haft tid til at svare ordentligt:

7) Er du sikker på du ikke mener integritetsområde fremfor en ring?

- Du har ret i, at jeg mener et integritetsområde.

9) Skal sætningen føre til en definition af UFD ?

- Nej, UFD er det, som jeg kaldet en faktoriel ring, og det er blevet defineret før sætninge.

12) Ok, hvis du argumenterer for hvorfor d ikke er divisor i a.

- Det gør jeg ud fra gcd(a,d)=1

13) Jeg ved ikke hvilken del af udsagnet dit "hvorfor ikke?" går på. Men hvis r ikke er et produkt af irreducible elementer, så er r ikke irreducibel per definition; r er irreducibel hviss den er et produkt af irreducible elementer.

- Det var lige netop den del, mit spørgsmål gik på.


Til eksamen trak jeg cykliske grupper og valgte netop at bevise den sætning, som jeg har spurgt en del til (herunder i 12, 3a og 3b). Kunne jeg forresten lokke dig til at svare på 11, som også omhandler det bevis?

Det gik virkelig godt (ikke mindst takket være din hjælp, som gjorde, at jeg forstod beviset helt). Så det endte med et 13-tal (har ikke fået armene ned endnu). Så mange, mange tak! :)
Håber du har mod på lidt vektorrum og metriske rum senere. Men først gælder det projekteksamen.

Stort tillykke! Det er rart når anstrengelserne bærer frugt.

Havde i ikke også om Galoisteori og om moduler, eller kommer det først senere?

Jeg ser frem til nogle spørgsmål om metriske rum. Hvis du har tid kunne du måske løfte sløret for hvad projektarbejdet omhandler og hvad det praktisk vil sige - er det en gruppeting?

Hov, overså at du "lokkede".

Meget mystisk, jeg var overbevist om, at jeg havde svaret på 11 - men vi må konkludere, at jeg blot havde tænkt svaret, men aldrig skrevet det. Og det hjælper jo stort.

Men jo. Ethvert element i G af orden d er en frembringer for H og enhver frembringer for H er af orden d. Derfor er mængden i G af elementer med orden d lig mængden af frembringere for H. Men bemærk at H er en _unik_ undergruppe, og det er formodentligt det man understreger ved at tale om en 1-1 korrespondance. Hvis der var mere en een undergruppe af orden d ville der ikke være overensstemmelse mellem mængden af elementer af orden d og mængden af frembringere for hver af undergrupperne.

Mange tak! Ja, det er skønt. Så føler man virkelig, at det har været anstrengelserne værd. Men jeg har også den indstilling, at jeg knokler igennem i læseferien, og så kan jeg slappe fuldstændig af bagefter (vi har en uge fri, inden det går løs på 4. semester). Det var helt vildt i dag - der var over halvdelen af dem, der skulle op før mig, som havde meldt fra.

"Havde i ikke også om Galoisteori og om moduler, eller kommer det først senere?"
Nej, jeg har ikke hørt om nogen af udtrykkene. Næste semester skal vi have følgende kurser:
- Sandsynlighedsregning (som jeg virkelig gruer for, da jeg fandt, at det var det sværeste i gymnasiet)
- Reelle og komplekse funktioner (hmm... nok mere analyse)
- Kodnings- og informationsteori (diskret matematik?)


Hvad er motivationen bag det fantastiske arbejde, du udfører her på studieportalen egentlig? Jeg spørger af ren nysgerrighed, fordi jeg er dybt taknemmelig.


"Hvis du har tid kunne du måske løfte sløret for hvad projektarbejdet omhandler og hvad det praktisk vil sige - er det en gruppeting?"

- Projektarbejdet handler om differentialligninger. Vi tager udgangspunkt i Lotka-Volterramodellen, så stort set al vores teori tager udgangspunkt i plane differentialligningssystemer. Med i projektet har vi blandt andet eksistens- og entydighedssætningen og Lyapunovs sætning. Derudover har vi en del af Lineariseringssætningen med, men det blev for stor en mundfuld at tage det hele med (lidt en halv løsning).
Normalt går vi op i grupper på AAU, dvs. vi sidder samlet i ca. 4 timer og diskutere projektet, og man markerer, når man har svaret på et spørgsmål. Men efter gruppeeksamen er blevet afskaffet, skal vi op enkeltvis. Så vi trækker et emne og skal uden forberedelse holde et foredag på ca. 15 minutter om det. Derefter får vi uddybende spørgsmål og et bispørgsmål, der relaterer sig til det, vi har haft om i kurset tilkoblet projektet. Det kan være alt fra højere ordens lineære systemer, Taylorapproksimation eller f.eks. uegentlige integraler. I foredraget gælder det om at kunne relatere teorien til Lotka-Volterramodellen og ellers fremføre de vigtigste pointer i teorien - samt gerne et bevis. Jeg frygter mest bispørgsmålet, da jeg ikke er stærk i f.eks. uegentlige integraler. Derudover arbejdede jeg på stabilitet og eksistens og entydighed. Så jeg har slet ikke været med inde over kapitlet om linearisering. Det ville bestemt heller ikke være sjovt at komme op i. Før var det lidt lettere, hvor man kunne byde sig ind på de ting, man vidste noget om (selvfølgelig skulle man gerne vise bred forståelse, men nu kan jeg altså komme til næsten udelukkende at skulle snakke om enten kædereglen eller linearisering - hvilken gru!

Du skal endelig spørge, hvis ovenstående giver anledning til yderligere spørgsmål.

"Meget mystisk, jeg var overbevist om, at jeg havde svaret på 11 - men vi må konkludere, at jeg blot havde tænkt svaret, men aldrig skrevet det. Og det hjælper jo stort."

- Hehe! Godt nok er det nye system lidt tosset med datering, men tror ikke det spiser indlæggene ;)

"Men jo. Ethvert element i G af orden d er en frembringer for H og enhver frembringer for H er af orden d. Derfor er mængden i G af elementer med orden d lig mængden af frembringere for H. Men bemærk at H er en _unik_ undergruppe, og det er formodentligt det man understreger ved at tale om en 1-1 korrespondance. Hvis der var mere en een undergruppe af orden d ville der ikke være overensstemmelse mellem mængden af elementer af orden d og mængden af frembringere for hver af undergrupperne."

- Det giver mening :)

Bortset fra kompleks funktionsteori lyder det ærligt talt som et lidt småkedeligt semester du skal i gang med - efter min smag. Sandsynlighedsteori tror jeg er rustet bort for mit vedkommende, med undtagelse af hvad der relaterer sig til sigma-algebraer. Kompleks funktionsteori synes jeg derimod er ret interessant. Så om nødvendigt skulle jeg nok kunne hjælpe der.

"Hvad er motivationen bag det fantastiske arbejde, du udfører her på studieportalen egentlig? Jeg spørger af ren nysgerrighed, fordi jeg er dybt taknemmelig. "

Det spørger jeg også tit mig selv om! Som hovedregel besvarer jeg kun spørgsmål fra universitetsstuderende eller spørgsmål af en så tilpas generel karakter at der er noget "kød" på. Motivationen i de tilfælde er det højere faglige niveau og at en mere "kødfuld" besvarelse kan have almen interesse, og dermed flere til gavn. Oftest synes jeg dog responsen på indlæggene er yderst skuffende; enten ingen respons og dermed ingen indikation af om det hjalp, ingen uddybende spørgsmål der afslører aktiv stillingtagen eller kritisk sans, eller - værst af alt - et svar, der afslører en iøjnefaldende mangel på påskønnelse af, at andre mennesker frivilligt bruger egen tid til at hjælpe. Jeg har droslet ned på aktiviteterne og med tiden vil jeg droppe studieportalen. Man kan håbe, der kunne komme liv i en portal for unifolk.

Så blev der et lille pusterum i eksamenslæsningen.


Det lyder godt, at du formentlig er i stand til at hjælpe med kompleks funktionsteori :) Jeg ved endnu ikke, hvad det går ud på, men det lyder ganske spændende.

Du må lige advare mig, inden du dropper studieportalen! Du vil helt sikkert blive meget savnet :)
Men har været inde at se på nogle af de indlæg, som du svarer på. Og har også lagt mærke til de forskellige skuffende besvarelser, som du beskriver.

Jeg er i gang med at læse op til projekteksamen på tirsdag. I den forbindelse er jeg stødt ind i to problemer:

1) Klassifikation af plane, lineære differentialligningssystemer ved hjælp af spor-determinantplanen:

x'=Ax

Jeg er gået i stå i to tilfælde (kan ikke helt finde ud af, om det diskriminanten d=(trA)^2-4detA er positiv eller lig nul):

- detA=0 og trA=0 (sporet)
- detA=0 og trA
eq 0

Hvad fortæller dette om faseportrætterne?

Jeg har en sætning, som siger, at hvis A er nulmatricen, så er samtlige vektorer i R^2 ligevægtspunkter. Og hvis detA=0 og A ikke er nulmatricen, så er der en ret linie gennem origo bestående af ligevægtspunkter.

Men ved ikke, om den kan bruges her.


2) I forbindelse med udledning af kædereglen for vektorfunktioner skal det vises, at

T(h)/||h|| -> 0 for h->0

(alle størrelser er vektorer pånær T)

Er dette det samme som
||T(h)||/||h|| -> 0 for h->0 ?