R^2, R^3,...,R^n

Et reelt vektorrum i to dimensioner kaldes "R to", og et i n dimensioner kaldes "R n". Forstår du? Du siger bare, at en vektor (eller en funktion) er element i "R to".

jep det tror jeg at jeg forstår :o)

Jeg så lige et spørgsmål mere:

Der står i min bog:

"de tre matricer kaldes for M_11, M_12 og M_13. Og hvis vi så siger at A_11=detM_11, A_12=-detM_12 og A_13=detM_13, Kan definitionen for determinanter i R^3 skrives på denne måde: detA=a_11*A_11+a_12*A_12+a_13*A_13

Hvad skal det betyde, altså hvad betyder og er de der A_11, A_12 og A_13? Og hvorfor er A_12 lig med en minus determinant?

Hilsen
Rasmus

Du har udeladt noget fra sammenhængen. Jeg kan ikke umiddelbart se, hvad indicene skulle betyde. Dit citat begynder med "de tre ...", hvilke matricer henvises der her til? Hvad er det for en bog, du har?

#3
Vink: kofaktorer (opløsning efter første række).

#2,

Som opfølgning til #4 vil jeg gerne tilføje følgende:

Om dette siger den godeste Jens Eising* (lektor ved DTU) følgende:

"Lad on betragte determinanten af en vilkårlig (n x n)-matrix A = [a_{ij}], og lad os i summen (3.7)**, der definerer determinanten af A, samle alle de led, der indeholder elementet a_{ij} som faktor. Idet a_{ij} sættes udenfor parentes, kan summen af disse i alt (n-1)! led skrives på formen a_{ij}A_{ij}, hvor faktoren



idet



og summen tages over de elementer i S_n, for hvilke j_i = j. A_{ij} kaldes __komplementet til element a_{ij}__. Det skal fremhæves, at komplementet A_{ij} ikke indeholder elementer fra den i-te række og den j-te søjle, men alene afhænger af elementerne i de øvrige n-1 rækker og søjler. Komplementet A_{ij} forandres således ikke, dersom man erstatter elementerne i den i-te række eller j-te søjle i A med andre tal."

Så har han et eksempel:

"Lad os betragte en determinant af 3. orden, og lad os f.eks. udregne komplementet til elementet a_{12}. Af (3.10)*** aflæses, at summen af de led der indeholder a_{12} er



Dvs.



som kan omformes til en determinant af 2. orden:



Dernæsr fortsætter han:

"Da hvert led i udtrykket (3.7) for determinanten af A indeholder et og kun ét element fra f.eks. den i-te række, kan (3.7) omskrives til



Determinanten siges herved at være __opløst efter den i-te række__. På tilsvarende måde kan determinanten __opløses efter den j-te søjle:



Altså: __Multiplicerer man elementerne i en række (søjle) med de tilsvarende komplementer, vil summen af disse produkter være lig med determinanten__."

Efter en udledning når Eising så frem til følgende vigtige (sic!) sætning:

"For determinanten af en vilkårlig (n x n)-matrix A gælder de to sæt __opløsningsformler__

(opløsning efter i-te række)
(opløsning efter j-te søjle)

hvor komplementet A_{ij} til element a_{ij} bestemmes som



idet D_{ij} er den (i,j)-te underdeterminant hørende til A."

Her har du forklaringen på minus-tegnet foran det(M_{12}) samt, hvordan A_{11}, A_{12} og A_{13} skal forstås.

Noter:

* Jens Eising: Lineær Algebra. Institut for Matematik, Danmarks Tekniske Universitet. Lyngby 1999.

** Summen (3.7) henviser til

(j_1,..., j_n er søjle nummer 1 til søjle nummer n.)

*** (3.10) henviser til

Jeg kan se, at der er nogen LaTeX-kommandoer, der ikke er kendt af forum-implementationen af LaTeX. [\dots?] skal læses som ...,
mens [\sgn]? betegner den matematiske signum-funktion, der er givet ved

#6,

Jeg ved ikke, om jeg har lavet en fejl i indtastningen, eller det er forummet, der klokker i det. Så jeg prøver igen: