Matematik

vanskeligt integral

25. februar 2007 af sontas (Slettet)

Er der nogen, der har et foreslag til, hvordan følgende integral kan udregnes (og ikke vha. lommeregner computer eller lign):

Se^(x)*e^(-x^2/2)dx grænser (-uendelig,uendelig).

Brugbart svar (0)

Svar #1
25. februar 2007 af Waterhouse (Slettet)

Er bange for at det er en af de ubehagelige integraler, der ikke kan findes algebraisk - tror man skal have gang i noget numerisk integration e.l. Kunne umiddelbart ikke finde noget vha. partiel og substitution, og www.integrals.wolfram.com ligeså.

Svar #2
25. februar 2007 af sontas (Slettet)

Jeg har fået problemet indskrænket nu, idet
x -x^2/2 = 1/2 - 0.5(x-1)^(0.5).

Se^(x)*e^(-x^2/2)dx grænser x= (-uendelig,uendelig) =
e^(1/2)Se^(-0.5t^2)dt grænser t=(-uendelig,uendelig).
Jeg skal nu argumentere for, at :

Se^(-0.5t^2)dt grænser t=(-uendelig,uendelig) = 1.
(da jeg ved, at Se^(x)*e^(-x^2/2)dx grænser x= (-uendelig,uendelig) = e^(1/2))

Svar #3
25. februar 2007 af sontas (Slettet)

Hov, der blev vrøvlet til den helt store guldmedalje der:

Se^(x)*e^(-x^2/2)dx grænser x= (-uendelig,uendelig) =
e^(1/2)S-e^(-0.5t^2)dt grænser t=(-uendelig,uendelig). Jeg skal altså argumentere for, at :

e^(-0.5t^2)dt grænser t=(-uendelig,uendelig) = 0!

Svar #4
25. februar 2007 af sontas (Slettet)

hov man skal vist også passe på med at lave udråbstegn i forbindelse med matematik :D, men heldigvis, så er 0! = 0 ;). Men tænk ikke på ! som fakultet.

Svar #5
25. februar 2007 af sontas (Slettet)

Glem lige alt hvad jeg skrev, undtagen:
x -x^2/2 = 1/2 - 0.5(x-1)^(0.5).

Brugbart svar (0)

Svar #6
26. februar 2007 af Dominik Hasek (Slettet)

#1:
Man får faktisk et pænt resultat. Se nedenstående.

#5:
Du mener vist

Og så har vi med substitutionen u = x-1, at

Det er velkendt, at

hvilket eksempelvis kan vises ved at skrifte til polære koordinater. Alt i alt har vi altså

Brugbart svar (0)

Svar #7
26. februar 2007 af Dominik Hasek (Slettet)

#6:
Rettelser (to steder):

Brugbart svar (0)

Svar #8
26. februar 2007 af Dominik Hasek (Slettet)

#7:
Nøøøj, det var dog utroligt! Jeg prøver lige igen:

Brugbart svar (0)

Svar #9
26. februar 2007 af Dominik Hasek (Slettet)

#6:
På trods af at jeg vil fastholde min påstand om at det omtalte resultat er velkendt, er beviset det måske ikke. (Der er tale om at der integreres over Gaussfordelingen.)

Man får et dobbeltintegral, som man så kan omskrive til et planintegral ved brug af Tonellis sætning (der er et specialtilfælde af Fubinis sætning, som selvsagt også kan bruges) -- se nedenstående:

http://mathworld.wolfram.com/FubiniTheorem.html

(Der er et integraltegn for meget på venstresiden af ligningen!)

For at indse at man overhovedet må bruge Fubinis sætning i det konkrete tilfælde, kræver det dog at man har haft målteori. Nå, men nok om det! Efter at have omskrevet til et planintegral, kan man så skrift til polære koordinater hvoraf det følger ved almindelig gymnasiematematik.

Svar #10
01. marts 2007 af sontas (Slettet)

Ja tak for hjælpen. Jeg fandt ud af det, ved at spalte integralet op, således at man får normalfordeligenssandsynlighedstæthed integreret over den reelle akse, denne er pr. definition 1, hvorfor resultatet følger. Og som du kan se på mine indlæg var forvirring på sit højeste, da jeg skrev indlæggene :D.

Skriv et svar til: vanskeligt integral

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.