Matematik
Plan i rummet
07. marts 2007 af
dnadan (Slettet)
Jeg har følgende opgave, som driller:
I et koordinatsystem i rummet har en ret linje m parameterfremstillingen:
x=3+t
y=2+2t
z=1-2t
Jeg skal nu bestemme en ligning for den plan, der indeholder m og punktet C(4;4;2)
Hvordan gøres dette? Jeg kan ikke se det lige nu, bare et lille hint ville være ganske glimrende:)
Som et bonus spørgsmål har jeg:
Bestem en paramenterfremstilling for den rette linje lm, der går igennem C, skærer m og står vinkeltret på m.
Hvor gøres dette nu?
I et koordinatsystem i rummet har en ret linje m parameterfremstillingen:
x=3+t
y=2+2t
z=1-2t
Jeg skal nu bestemme en ligning for den plan, der indeholder m og punktet C(4;4;2)
Hvordan gøres dette? Jeg kan ikke se det lige nu, bare et lille hint ville være ganske glimrende:)
Som et bonus spørgsmål har jeg:
Bestem en paramenterfremstilling for den rette linje lm, der går igennem C, skærer m og står vinkeltret på m.
Hvor gøres dette nu?
Svar #1
07. marts 2007 af sigmund (Slettet)
For at opstille ligningen for en plan i rummet skal du kende planens normalvektor og ét punkt i planen. Du får opgivet et punkt i planen, mens planens normalvektor bestemmes af krydsproduktet mellem to vektorer i planen (krydsproduktet mellem to vektorer er en vektor, der står vinkelret på begge vektorer; følgelig står den vinkelret på planen, idet de to vektorer ligger i planen).
Som den ene vektor kan du anvende linjen m's retningsvektor, da m skal ligge i planen. Ud fra m's parameterfremstilling kan du læse et punkt, der ligger i planen, mens du får oplyst et andet punkt i planen. Disse to punkter fastlægger så en anden vektor i planen. Nu har du så to vektorer i planen. Krydsproduktet mellem dem er en normalvektor for planen. Et punkt i planen er givet i opgaven. Så er bare tilbage at sætte ind i den generelle ligning for en plan i rummet (den finder du i din bog).
Bonus:
To linjer står vinkelret på hinanden når prikproduktet mellem de to retningsvektorer er 0. Retningsvektoren for m læses af parameterfremstillingen. Nu skal du så bestemme den vektor, der prikket med retningsvektoren for m giver 0. Linjerne skal desuden skære hinanden. Dvs. at de skal have et sæt punkter, (x,y,z), fælles. Ud fra dette kan du, idet lm's retningsvektor kaldes (a,b,c), opstille tre ligninger (lm skal gå gennem C(4,4,2)):
Her har vi fire ubekendte, men kun tre ligninger. For at kunne finde en éntydig løsning har vi brug for fire ligninger. Den fjerde kommer fra kravet om, at linjerne skal være indbyrdes vinkelrette, dvs. at prikproduktet mellem de to retningsvektorer skal være 0:
For at opsummere, så skal vi løse det lineære ligningssystem
Kender du lidt til Gauss-elimination, skulle det være hurtigt løst. Ellers må du bare prøve som bedst.
PS: Det kan være, at der er andre, simplere løsningsforslag til denne sidste opgave. Dette var i hvert fald det, jeg kunne få ud af de krav, der stilles til linjen lm.
Som den ene vektor kan du anvende linjen m's retningsvektor, da m skal ligge i planen. Ud fra m's parameterfremstilling kan du læse et punkt, der ligger i planen, mens du får oplyst et andet punkt i planen. Disse to punkter fastlægger så en anden vektor i planen. Nu har du så to vektorer i planen. Krydsproduktet mellem dem er en normalvektor for planen. Et punkt i planen er givet i opgaven. Så er bare tilbage at sætte ind i den generelle ligning for en plan i rummet (den finder du i din bog).
Bonus:
To linjer står vinkelret på hinanden når prikproduktet mellem de to retningsvektorer er 0. Retningsvektoren for m læses af parameterfremstillingen. Nu skal du så bestemme den vektor, der prikket med retningsvektoren for m giver 0. Linjerne skal desuden skære hinanden. Dvs. at de skal have et sæt punkter, (x,y,z), fælles. Ud fra dette kan du, idet lm's retningsvektor kaldes (a,b,c), opstille tre ligninger (lm skal gå gennem C(4,4,2)):
Her har vi fire ubekendte, men kun tre ligninger. For at kunne finde en éntydig løsning har vi brug for fire ligninger. Den fjerde kommer fra kravet om, at linjerne skal være indbyrdes vinkelrette, dvs. at prikproduktet mellem de to retningsvektorer skal være 0:
For at opsummere, så skal vi løse det lineære ligningssystem
Kender du lidt til Gauss-elimination, skulle det være hurtigt løst. Ellers må du bare prøve som bedst.
PS: Det kan være, at der er andre, simplere løsningsforslag til denne sidste opgave. Dette var i hvert fald det, jeg kunne få ud af de krav, der stilles til linjen lm.
Skriv et svar til: Plan i rummet
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.