Sandsynlighedsregning

Intuitivt er resultatet klart med udgangspunkt i følgende rent geometriske overvejelser. Indtegn området A = [a1,b1]x[a2,b2] i R^2. Med de givne betingelser mellem a1,b1 og a2,b2 er A et rektangel i planen med nedre venstre hjørnepunkt (a1,a2) og dernæst hjørnekoordinater (b1,a2), (b1,b2), (a1,b2) i modsat urretning. Geometrisk set repræsenterer F_X(b1,b2) sandsynligheden for at X tilhører det område, som begrænses af linierne x1=b1, x2=b2 og som indeholder A. For at finde sandsynligheden for, at X tilhører A må fra dette derfor fratrækkes området "til venstre" for A begrænset af linierne x1=a1, x2=b2 samt området "under" A begrænset af linierne x1=b1, x2=a2. Derved er dog området "nedad til vesntre" for A begrænset af linierne x1=a1, x2=a2 fratrukket 2 gange, hvorfor der må kompenseres ved addition deraf.

De rent geometriske overvejelser formaliseres umiddelbart til integralovervejelser af tæthedsfunktionen f(x1,x2) idet

P[x E A] =

S[f(x1,x2)]dx1dx2 =
A

b1 b2
S[ S[f(x1,x2)]dx1dx2 -
-oo-oo

a1 b2
S[ S[f(x1,x2)]dx1dx2 -
-oo-oo

a2 b1
S[ S[f(x1,x2)]dx1dx2 +
-oo-oo

a1 a2
S[ S[f(x1,x2)]dx1dx2
-oo-oo

= F_X(b1,b2) - F_X(a1,b2) - F_X(a2,b1) + F_X(a1,a2)

#2
I #1 bør for klarhedens skyld indføjes

S[f(x1,x2)]dx1dx2 =
A

b1 b2
S[ S[f(x1,x2)]dx1,dx2 = ...
a1 a2

Tak igen!