Matematik
arctanx+arctany=c
31. marts 2007 af
chrisjorg (Slettet)
Gælder det, at: arctanx+arctany=c <=> arctan((x+y)/1-xy)=c <=> tanc= (x+y)/1-xy ??
Svar #1
31. marts 2007 af sheaf (Slettet)
Relationen
Arctan(x)+Arctan(y) = Arctan((x+y)/(1-xy))
gælder såfremt x og y har modsat fortegn eller begge er 0.
For antag eksempelvis at x>0 og y<0. Så ligger Arctan(x) i ]0,pi/2[ og Arctan(y) i ]-pi/2,0[. Dermed er Arctan(x) + Arctan(y) /= pi/2 + p*pi, p E Z. Additionsformlen for tangens kan derfor bringes i anvendelse og resulterer i
tan(Arctanx) + Arctan(y)) =
(tan(Arctan(x) + tan(Arctan(y))/(1-tan(Arctan(x)tan(Arctan(y)) =
(x+y)/(1-xy)
Da Arctan(x) + Arctan(y) ligger i ]-pi/2,pi/2[ er derfor
Arctan(x)+Arctan(y) = Arctan((x+y)/(1-xy)) for x>0 og y>0.
For x=y=0 er relationen trivielt gældende og tilfældet x0 følger af symmetriovervejelser.
Generelt gælder:
Arctan((x+y)/(1-xy)) =
Arctan(x) + Arctan(y) - pi for xy>1 og x>0 ,
Arctan(x) + Arctan(y) for xy<1 ,
Arctan(x) + Arctan(y) + pi for xy>1 og x<0
Arctan(x)+Arctan(y) = Arctan((x+y)/(1-xy))
gælder såfremt x og y har modsat fortegn eller begge er 0.
For antag eksempelvis at x>0 og y<0. Så ligger Arctan(x) i ]0,pi/2[ og Arctan(y) i ]-pi/2,0[. Dermed er Arctan(x) + Arctan(y) /= pi/2 + p*pi, p E Z. Additionsformlen for tangens kan derfor bringes i anvendelse og resulterer i
tan(Arctanx) + Arctan(y)) =
(tan(Arctan(x) + tan(Arctan(y))/(1-tan(Arctan(x)tan(Arctan(y)) =
(x+y)/(1-xy)
Da Arctan(x) + Arctan(y) ligger i ]-pi/2,pi/2[ er derfor
Arctan(x)+Arctan(y) = Arctan((x+y)/(1-xy)) for x>0 og y>0.
For x=y=0 er relationen trivielt gældende og tilfældet x0 følger af symmetriovervejelser.
Generelt gælder:
Arctan((x+y)/(1-xy)) =
Arctan(x) + Arctan(y) - pi for xy>1 og x>0 ,
Arctan(x) + Arctan(y) for xy<1 ,
Arctan(x) + Arctan(y) + pi for xy>1 og x<0
Svar #2
31. marts 2007 af chrisjorg (Slettet)
Tusind tak for svaret. Jeg har ledt som en gal i alle mine matematikbøger, uden held: bla. Spivak, Calculus., etc.
Skriv et svar til: arctanx+arctany=c
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.