Matematik
integral
09. april 2007 af
flybyme (Slettet)
hei!
skulle uppskatta om någon kunde visa hur man går tillväga för att lösa dubbelintegralen:
1/(1 + a^2 + b^2)^2 * dadb
över området b^2 < 2a.
är helt ny på detta. tror man ska använda sig utav polära koordinater, förstår inte hur, så om någon kunde visa mig så skulle jag vara tacksam. :)
skulle uppskatta om någon kunde visa hur man går tillväga för att lösa dubbelintegralen:
1/(1 + a^2 + b^2)^2 * dadb
över området b^2 < 2a.
är helt ny på detta. tror man ska använda sig utav polära koordinater, förstår inte hur, så om någon kunde visa mig så skulle jag vara tacksam. :)
Svar #1
10. april 2007 af sontas (Slettet)
Jeg har et bud, men måske er det en langt ude måde at lave det på :
Først ser jeg på mængden du skal integrere over:
b^2 < 2a => b^2/ 2 < a < uendelig
så har du grænser for a.
grænserne for b bliver : -sqrt{2a}<b < sqrt{2a} så har du grænser for b. Vi laver nu substitutionen
t = 1 + a^2 + b^2 => dt /da = 2a -> dt = da*2a ->
da = dt/2a
Udfra ovenstående udtryk fås, at :
t = 1 + a^2 + b^2 <=> a = sqrt{t-1-b^2}
Vi får nu :
S S 1/t^2 * dt/2adb = t^(-2)*dt/(2*sqrt{t-1-b^2})
vi transformerer nu grænserne, så de øvre grænse bliver t(uendelig) = uendeligt
og den nedre : t(b^2/2) = 1+(b^2/2)+b^2. Så prøv at regn videre...(man bliver vist tvunget ud i endnu en substition)
Men ja du kan sikkert bruge polærkoordinater, og så får du et nemmere integral! Men jeg kan ikke huske helt hvordan man gør ;). Din indre funktion er jo en cirkel! Det "gode" ved den metode jeg disker op med, er, at du kan bruge den på alle typer funktioner og domæner. Men tag lige mine udregninger med et grant salt, måske kan de ikke bruges her, jeg har ikke regnet efter.
Først ser jeg på mængden du skal integrere over:
b^2 < 2a => b^2/ 2 < a < uendelig
så har du grænser for a.
grænserne for b bliver : -sqrt{2a}<b < sqrt{2a} så har du grænser for b. Vi laver nu substitutionen
t = 1 + a^2 + b^2 => dt /da = 2a -> dt = da*2a ->
da = dt/2a
Udfra ovenstående udtryk fås, at :
t = 1 + a^2 + b^2 <=> a = sqrt{t-1-b^2}
Vi får nu :
S S 1/t^2 * dt/2adb = t^(-2)*dt/(2*sqrt{t-1-b^2})
vi transformerer nu grænserne, så de øvre grænse bliver t(uendelig) = uendeligt
og den nedre : t(b^2/2) = 1+(b^2/2)+b^2. Så prøv at regn videre...(man bliver vist tvunget ud i endnu en substition)
Men ja du kan sikkert bruge polærkoordinater, og så får du et nemmere integral! Men jeg kan ikke huske helt hvordan man gør ;). Din indre funktion er jo en cirkel! Det "gode" ved den metode jeg disker op med, er, at du kan bruge den på alle typer funktioner og domæner. Men tag lige mine udregninger med et grant salt, måske kan de ikke bruges her, jeg har ikke regnet efter.
Skriv et svar til: integral
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.