Matematik

Massemidtpunkt

09. april 2004 af sigmund (Slettet)

Jeg har igen brug for lidt hjælp fra nogen uni-matematikere.
Jeg skal finde massemidtpunktet af en mængde (mængden er en plan i rummet) når massetætheden antages konstant f(x,y)=1. Jeg har fundet massen af mængden som planintegralet af f(x,y) over den givne mængde. Derefter finder jeg planintegralet af f(x,y)*x og planintegralet af f(x,y)*y over den givne mængde. Da mængden er given i polære koordinater omskriver jeg x og y til hhv. rho*cos(phi) og rho*sin(phi). Koordinaterne for massemidtpunktet burde så være de omtalte planintegraler delt med massen af mængden. Jeg får også x-koordinaten til at passe, men y-koordinaten får jeg ikke til at passe. Jeg kan ikke se hvad der skulle være galt. Måske kan I hjælpe mig med dette. Hvis der manger nogen oplysninger må I endelig spørge.

Brugbart svar (0)

Svar #1
09. april 2004 af 404error (Slettet)

Der må være tale om en delmængde af planen - ellers stemmer dine oplysninger ikke. Din metode er som sådan rigtig nok. Du er nødt til at give flere detaljer, hvis vi skal hjælpe.

Svar #2
09. april 2004 af sigmund (Slettet)

Der er tale om en fællesmængde af to mængder. Denne fællesmængde er givet ved {(rho,phi)|2
Jeg håber, at dette er nok oplysninger til, at I kan hjælpe mig.

Brugbart svar (0)

Svar #3
09. april 2004 af 404error (Slettet)

Nej, der er ikke tale om en fællesmængde. Der er tale om en punktmængde, der er beskrevet i polære koordinater. Punktmængden er faktisk bare et "udsnit" af en cirkel. Det giver derfor heller ikke mening at tale om en parameterfremstilling for området - det er blot betingelsen for at tilhøre området udtrykt for almindelige rektangulære koordinater, dvs. hvis området kaldes M er M={(x,y)| x=rho*cos(phi),y=rho*sin(phi), rho \\in [2,3], phi \\in [0,pi/4]}.

Husk nu, at når du integrerer i polære koordinater, skal du have en ekstra faktor r med i dit integral, altså hvis f(x,y) er en givet (integrabel) funktion af to variable, så er

int f(x,y) dA=int f(r*cos(v),r*sin(v))*r dr dv.

Det mangler du formentlig i din arealberegning - du mangler det i hvert fald i din beregning af massemidtpunktet!

Svar #4
09. april 2004 af sigmund (Slettet)

Jeg tror, jeg lige skal klarere nogen ting. I opgaven har jeg givet to områder A og B i planen. Disse områder er givet ved hjælp af polære koordinater som følger: A={(rho,phi)|1

Brugbart svar (0)

Svar #5
09. april 2004 af 404error (Slettet)

Ok, det gjorde jo tingene en del klarere ;-). Din metode er rigtig - så fejlen må ligge andetsteds. Hvis der vel at mærke er en fejl..! Betegnes massemidtpunktet (x_c,y_c) får jeg (ell. Maple):

masse = 5*Pi/8

x_c = 76/15/Pi*2^(1/2)

y_c = 8/5/Pi*(-19/6*sqrt(2)+19/3)

Svar #6
10. april 2004 af sigmund (Slettet)

Til 404error.
Ja, så er vi to enige. Jeg får de samme koordinater for massemidtpunktet, som du får. Dvs. at der må være en fejl i den Maple-pakke, som jeg har brugt til at kontrollere resultatet med. Hvis du er interesseret, kan du se den på www.mat.dtu.dk/education/01005/MWS/INTEGRATOR2.

Mvh. Sigmund Vestergaard

Brugbart svar (0)

Svar #7
10. april 2004 af Brian (Slettet)

Jeg får det samme som #5 ved to forskellige metoder.

Det må bestyrke din mistanke om at der er noget galt med din lektors Maple-pakke - det bestyrker mig den erfaring, at man kun skal stole på trediepartsprodukter, hvis de er MEGET gennemtestede - ellers må man selv teste, og det er jo det vi har gjort her :-)

y_c kan i øvrigt reduceres til

y_c = (76/15)(1/PI)(2-kvrod(2))

hvad jeg synes er pænere.

Svar #8
11. april 2004 af sigmund (Slettet)

Jeg har egentlig ikke før bedt Maple om at simplificere mit resultat, men det har jeg gjort nu, og får samme resultat som #7. I øvrigt får lektorens Maple-pakke også det samme, så måske er den god nok alligevel. Dog giver den ikke de rigtige værdier, når den skriver det som decimaltal. Med tre betydende cifre får den (Maple-pakken) massemidtpunktet til (2.28;0.953), hvor det rigtige er (2.28;0.945). Derfor er Maple-pakken måske god nok alligevel, det var bare mig der var for hurtigt ude. Det ville nok være en god idé, altid at bede Maple om at simplificere sine resultater.
Ellers tak for hjælpen.

Mvh. Sigmund Vestergaard.

Skriv et svar til: Massemidtpunkt

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.