areal i rummet - Matematik - Studieportalen.dk

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. april 2004 af 404error (Slettet)

Den samme som formlen for arealet af en trekant i planen. For et mere specifikt svar kræves mere specifikke oplysninger, dvs. hvordan er trekanten givet?

Brugbart svar (0)

Svar #2
11. april 2004 af Brian (Slettet)

Mener du en trekant (som jo er flad og kan ligge i en plan) eller mener du en eller anden rumlig figur? I så fald hvilken?

Svar #3
11. april 2004 af starfucker (Slettet)

Jeg har følgende oplysninger

T(0,0,2.8)
A(0,4.8,0)
B(4.2,2.4,0)

TAB danner en trekant

opgaven : Beregn sidefladen TAB

Svar #4
11. april 2004 af starfucker (Slettet)

opgave siger sidefladen, så det må være en flad trekant.

Brugbart svar (0)

Svar #5
11. april 2004 af Brian (Slettet)

Et forslag, det er muligt, det kan gøres smartere, men alligevel:

find de 3 afstande mellem de 3 punkter, det kan gøres v.h.a. 3-D-Pythagoras:

dist(P1, P2) = kvrod((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)

Derefter må du kunne finde eller slå nogle formler op, hvor du kan regne arealet af en trekant ud alene på basis af sidelængderne, som du jo nu har.

Brugbart svar (0)

Svar #6
11. april 2004 af Dominik Hasek (Slettet)

Bestem to vektorer i trekanten (f.eks. vektor(AT) og vektor(AB)). Kryds nu de to vektorer, og så finder du, at arealet af trekanten er givet ved længden af krydsvektoren divideret med 2 (længden af krydsvektoren giver arealet af parallelogrammer, der udspændes af de to vektorer).

Brugbart svar (0)

Svar #7
11. april 2004 af Brian (Slettet)

Hvis de 3 sidelængder er a, b og c, og du først beregner s = (a+b+c)/2, så er arealet F givet ved

F = kvrod( s*(s-a)*(s-b)*(s-c) )

MEN, indrømet, det er skide besværligt! Så er Dominiks forslag meget bedre.

Brugbart svar (0)

Svar #8
11. april 2004 af sigmund (Slettet)

Brian, jeg har sammenlignet din og Dominiks metode i Maple, men de giver ikke det samme areal. Se blot her:

T:=vector(3,[0,0,2+4/5]);
T := [0, 0, 14/5]

> A:=vector(3,[0,4+4/5,0]);

A := [0, 24/5, 0]

> B:=vector(3,[4+1/5,2+2/5,0]);

B := [21/5, 12/5, 0]

> AT:=evalm(T-A);

AT := [0, -24/5, 14/5]

> BT:=evalm(T-B);

BT := [-21/5, -12/5, 14/5]

> AB:=evalm(B-A);

AB := [21/5, -12/5, 0]

Dominik Haseks metode:

> Areal:=norm(crossprod(AT,BT))/2=evalf[5](norm(crossprod(AT,BT))/2);

252
Areal := --- = 10.080
25

> s:=((norm(AT)+norm(AB)+norm(BT))/2);

s := 33/5

Brians metode:

> AREA:=evalm(sqrt(s*(s-norm(AB))*(s-norm(AT))*(s-norm(BT))))=evalf[5](sqrt(evalm(s*(s-norm(AB))*(s-norm(AT))*(s-norm(BT)))));

1/2
36 33
AREA := -------- = 8.2722
25

>

Brugbart svar (0)

Svar #9
11. april 2004 af sigmund (Slettet)

Det ser lidt mærkeligt ud, men først skal der stå: Areal:=252/25=10.080
Derefter skal der stå: AREA:=36*sqrt(33)/25=8.2722.

Brugbart svar (0)

Svar #10
11. april 2004 af Dominik Hasek (Slettet)

Ved brug af Maple, får jeg følgende:

> with(linalg):
> AT:=vector([0,-24/5,14/5]):
AB:=vector([21/5,-12/5,0]):
crossprod(AT,AB);
> sqrt((168/25)^2+(294/25)^2+(504/25)^2);
evalf(%);

Dette giver A = 24,29, men måske er jeg forkert på den :-)

Brugbart svar (0)

Svar #11
11. april 2004 af Dominik Hasek (Slettet)

Hmm... arealet bliver cirka 24,29 (A er jo et punkt).

Brugbart svar (0)

Svar #12
11. april 2004 af sigmund (Slettet)

Dominik Hasek, arealet er halvdelen af 24.29, dvs. ca. 12.15. Eksakt er det 21*sqrt(209)/25. Jeg havde lavet en fejl før i Maple. Længden af en vektor er 2-normen. Derfor skal man sige norm(crossprod(AT,AB),2) for at få længden af krydsproduktet AT kryds AB.

Brugbart svar (0)

Svar #13
11. april 2004 af Dominik Hasek (Slettet)

Skummelt... Jeg skriver i #6, at man skal huske at dividere med 2, og så glemmer jeg det selv.

Brugbart svar (0)

Svar #14
11. april 2004 af Brian (Slettet)

Skummelt, lige mine ord! Men her tænker jeg nu mere på

#8 - to forskellige metoder for det samme skulle jo gerne give det samme resultat...

Jeg er ingen Maple-ekspert, og ulemperne ved at bakse med højteknologi er (for mig) så store at der skal en del til før jeg finder det umagen værd i forhold til at regne i hånden - og i dette tilfælde stoler jeg mere på håndregning. Jeg har ikke regnet noget konkret ud endnu, men det vil jeg da lige gøre og så vender jeg tilbage...

Brugbart svar (0)

Svar #15
11. april 2004 af Brian (Slettet)

Nu har jeg sammenlignet min egen metode med Dominiks og jeg får dt samme resultat ved begge metoder.

Med min egen metode får jeg

|AT|^2 = (1/25)*772
|BT|^2 = (1/25)*781
|AB|^2 = (1/25)*585

Ved at massere min oprindelige formel for arealet F (nemlig erstatte s med et udtryk i sidelængderne og regne) får jeg:

F = (1/4)*kvrod( -a^4 - b^4 - c^4 + 2*(a^2*b^2 + a^2*c^2 + b^2*c^2) )

(bare rolig, det er ikke min egen ide, det kommer fra den formelsamling jeg bruger ;-)). Formelen er symmetrisk i sidelængderne, så det er ligemeget hvordan jeg vælger at knytte AT, BT og AB til a, b og c; ved udregning får jeg:

F = (21/25)*kvrod(209).

Med Dominiks metode vælger jeg ATxAB, fordi der er flere nuller hvilket gør håndregningen lettere:

ATxAB = (1/25)*(14*12, 14*21, 24*21),

og efter lidt regning får jeg så, at

|ATxAB|^2 = (1/25^2)*92169 = (1/25^2)*2^2*21^2*209.

Derefter følger direkte, at

F = (1/2)*|ATxAB| = (1/2)(1/25)*2*21*kvrod(209)
= (21/25)*kvrod(209) = 12.143739

Brugbart svar (0)

Svar #16
11. april 2004 af Brian (Slettet)

Nåja, det skal lige med, at Dominiks metode ved håndregninger den absolut letteste...

Brugbart svar (0)

Svar #17
12. april 2004 af sigmund (Slettet)

Brian, jeg har lige regnet det igennem en gang til i Maple, med begge metoder, og ja, de giver det samme. Det var bare mig der havde brugt forkert Maple kommando til at finde længden af vektorerne.
Dette viser rigtigheden af følgende citat: These are SYMBOL manipulators, not thinking machines. The thinking is your job. (Ronald Bruck, University of Southern California).

Brugbart svar (0)

Svar #18
12. april 2004 af Mads^^ (Slettet)

Brian - vil du ikke skrive den formel du bruger? Evt også hvordan den kommer frem... Kan godt være det er mig der er et skamløst får, men jeg fatter ikke helt hvad du gør...

Brugbart svar (0)

Svar #19
12. april 2004 af Brian (Slettet)

Hej Mads^^, glad for at høre du har overlevet påsken, du ved jo godt hvad man plejer at gøre med får ved denne tid ;-)

Jeg er så til gengæld en skamløs formelmisbruger - i min tyske formelsamling (Rottmann) har jeg simpelt hen bare slået op, og fundet, at hvis a, b, c er siderne i en trekant, og F betegner arealtet (Fläche på tysk = flade) og man bruger

s = (1/2)(a+b+c),

så er

(1) F = kvrod( s*(s-a)*(s-b)*(s-c) )

som jeg også skrev i #7.

I den opgave, som denne tråd handlede om viste det sig, at sidelængderne var noget med kvadratrod. Da min formelsamling også giver en anden version med netop sidelængderne i anden:

(2) F = (1/4)*kvrod( 4*a^2*b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2 ),

tænkte jeg at håndregningen ville blive lettere, fordi jeg så kunne slippe af med kvadratrødderne i sidelængderne med det samme. Men denne formel er underligt usymmetrisk i a, b og c, så i stedet for indsatte jeg udtrykket for s i (1) og nåede ved ganske almindelig reduktion frem til

(3) F = F = (1/4)*kvrod( -a^4 - b^4 - c^4 + 2*(a^2*b^2 + a^2*c^2 + b^2*c^2) ),

som jeg skrev i #15 (hvor jeg i øvrigt havde overset, at Dominik og siegmund allerede VAR blevet enige :-().

Så er der spørgsmålet om HVORFOR denne formel gælder. Det kan jo så være dagens opgave... som sagt, jeg har bare stolet på en formel. Der kan sikkert findes et bevis på nettet men det er jo sjovere selv at lave det!

Brugbart svar (0)

Svar #20
12. april 2004 af Mads^^ (Slettet)

hehe - tak for det. Hygge med beviset! Du må lige smide det ud når du er færdig. Så vil jeg fejre min tyve års levedag imens :)