Matematik
Ekstremumssteder
En funktion, f, er givet ved f(x) = ¾x4 + x3 – 3x2 + 3.
Jeg skal bestemme de lokale ekstrema for f(x).
Jeg kan godt finde ud af at finde ekstremumssteder, de er x = -2, x = 0, x = 1 – men det er vel ikke bare det? Jeg kan ikke helt huske hvad lokal ekstrema er?
2)
Jeg skal bestemme, for enhver værdi af c, antallet af løsninger til ligningen f(x) = c.
Det forstår jeg slet ikke?
Tak.
Svar #1
07. maj 2007 af Bruger slettet (Slettet)
Kig på området -2<x<2, der vil du finde 2 lokale ekstrempunkter, hvor df(x)/dx er 0.
Den sidste del af spørgsmålet går bare på, at du skal huske at en n'te grads ligning altid har n rødder. Du skal ikke finde dem, det står der ikke noget om.
Der er altså 4 løsninger, ikke nødvendigvis reelle løsninger.
V.h.
Erik Morsing
Svar #2
07. maj 2007 af qwertyuiasdfghjk (Slettet)
Svar #3
07. maj 2007 af qwertyuiasdfghjk (Slettet)
Svar #4
07. maj 2007 af Bruger slettet (Slettet)
Resten kan du selv se. Jeg bruger Mathcad systemet, det er uovertruffent til den slags opgaver.
V.h.
Erik Morsing.
Svar #5
07. maj 2007 af qwertyuiasdfghjk (Slettet)
Altså, prøver lige at gennemgå hvad jeg har gjort. Håber du har tid til at se på det.
Jeg starter med at differentiere mit udtryk.
f’(x) = (3/4x^4)’ + (x^3)’ – (3x^2)’ + (3)’
= 3x^3 + 3x^2 – 6x
Jeg finder nu x ved f’(x) = 0. Det gør jeg ved hjælp af ”solve”-funktionen på TI-89.
solve(3x3 + 3x2 – 6x = 0 , x)
x = -2 x = 0 x = 1
Dette er ekstremumssteder.
Men hvad gør jeg så herfra? er det bare det.
Og tak for det til spørgsmål to, ved ikke hvorfor jeg ikke kunne se det:)
Svar #6
07. maj 2007 af sheaf (Slettet)
ad 2) Under formodningen at f:R->R har ligningen f(x)=c, c E R menes der de reelle løsninger til ligningen. Bestem antallet udfra dit kendskab til udseenet af grafen for f (qua 1 og almen viden om polynomiumsfunktioner for "meget store" og "meget små" værdier af x) sammen holdt med grafen for funktionen g(x)=c (en vandret linie der skærer y-aksen i y=c).
Svar #7
07. maj 2007 af qwertyuiasdfghjk (Slettet)
ad 1) Det har jeg gjort nu, vil det så sige at lokale maksimum og minimumssteder er de lokale ekstrema?
Svar #8
07. maj 2007 af qwertyuiasdfghjk (Slettet)
Svar #11
07. maj 2007 af sheaf (Slettet)
Ikke nødvendigvis. Et lokalt ekstremumssted er karakteriseret ved at f' har modsat fortegn i en omegn af punktet. Det er det du skal undersøge.
#8
Nej. Ligningen f(x)=c, hvor f er et fjerdegradspolynomium, har altid 4 løsninger indenfor de komplekse tal (fordi de komplekse tal er det man kalder en algebraisk afsluttet mængde). Indenfor de reelle tal, som er dem der kigges på her, er der enten netop 1, 2 eller 4 løsninger.
Grafisk betyder ligningen f(x)=c at man skal finde de punkter hvor den vandrette linie med ligningen y=c skærer grafen for funktion f for varierende værdier af c. Det betyder konkret at man kan forestille sig grafen for f indtegnet i et koordinatsystem hvorefter man lader en lineal parallel med x-aksen glide fra meget store negative værdier af y mod meget store positive værdier af y (svarende til forskellige værdier af c) og tæller hvor mange gange linealen skærer grafen for f.
Det er ikke nødvendigt at tegne grafen, for dens generelle udseende kan aflæses ud af den foregående funktionsundersøgelse. Det er derfor du bliver bedt om at lave den.
Skriv et svar til: Ekstremumssteder
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.