Matematik

Stamfunktioner

29. maj 2007 af stræber-pigen (Slettet)

Hvordan omsættes et single-integral så til polære funktioner:

S f(x) dx = ?

x = rcosØ
y=rsinØ

Hvad er S 1 dx giver en linje, hvor S f(x)dx giver et areal. SSdxdy = areal. SS f(x,y)dydx giver volumen. SSS dzdydx giver volumen. Og SSS f(x,y,z)dzdydx giver 4 dim. Har jeg forstået det korrekt?

Brugbart svar (0)

Svar #1
29. maj 2007 af Riemann

S f(x)dx giver ikke et areal. Det giver en familie af stamfunktioner (afhængig af x). Hvis der er grænser på (og f(x) ikke er mindre end nul) er det bestemte integrale lig arealet.

Et integral over en funktion af to variable kan fortolkes som et volumen, som du skriver.

Din fortolkning af SSS dzdydx og SSS f(x,y,z)dzdydx er også korrekt.

Hvis man har en funktion af to variable og integerer over en mængde;

SS f(x,y) dx*dy

kan du indsætte x=r*cos Ø og y=r*sin Ø og erstatte dx*dy med r*dr*dØ;

SS f(x,y) r*dr*dØ (hvor x=r*cos Ø og y=r*sin Ø)

Størrelsen r kaldes "jacobianten" (den der står foran dr*dØ).

Dette kan man anvende, når man udregner gaussiske integraler; se eksempelvis de første 6 ligninger her:

http://mathworld.wolfram.com/GaussianIntegral.html

Tricket her er, at de udregner (..kvadratroden af..) integralet i anden og herefter skifter til polære koordinater, hvorefter man kan bruge sædvanlig substitution (dette er muligt på grund af jacobianten, r).

Svar #2
29. maj 2007 af stræber-pigen (Slettet)

#1 Men hvor kommer r fra?

Brugbart svar (0)

Svar #3
29. maj 2007 af Riemann

Det er en faktor der optræder, når man skifter koordinatsystem. Prøv evt. at se her

http://www.sccn.ucsd.edu/~arno/ica/Cov.html

Svar #4
29. maj 2007 af stræber-pigen (Slettet)

Cirkelbuen er r*dØ hvorfor?

Svar #5
29. maj 2007 af stræber-pigen (Slettet)

Ingen der vil hjælpe?

Brugbart svar (0)

Svar #6
30. maj 2007 af Riemann

Længden af en cirkelbue er vinklen som cirkelbuen udgør ganget med afstanden til den.

Brugbart svar (0)

Svar #7
30. maj 2007 af Erik Morsing (Slettet)

Prøv at tegne (det er vigtigt, at du tegner) et almindeligt kartesisk koordinatsystem. Så tegner du et punkt i 1. kvadrant og kalder det (x,y). Da vi nu gerne vil konvertere dette koordinatsystem over til et polært system, så skriver vi også (r,v) ved samme punkt. Nu har vi defineret punktet ved radiusvektor og vinklen mellem radiusvektor og 1. aksen, Så kan vi se, at der må gælde følgende overgangsformler:
x = r*cos(v)
y = r*sin(v)
Vi ved også at tan(v) = y/x og endelig, at
x^2 + y^2 = r^2

Det her beskrevne kaldes Polar rectangular conversion.

Så kommer vi til cirkelbuen:
En hel cirkelbue (360 grader) er 2*pi*r, så må et stykke af den (v grader) være r*v. Så vinklen er altså lig r*v.
Tager vi nu et lile udsnit af cirkelsegmentet, således at det lille buestykke kan regnes for ret, så kan vi bruges Pythagoras på dette stykke, så vi får:
(ds)^2 = dr^2 +r^(dv)^2. og ds er så kvadratroden af højresiden.
Udtrykket (størrelsen rdr er det rette liniestykke mellem de to tætliggende radier, så man kan sige at forskellen mellem ds og rdr skrumper ind, når ds går mod 0.
Vi bruger udtrykker rdv, fordi vi så kan integrere på det.

Hvis ovenstående forklaring ikke er nok, så vil jeg prøve at lægge det ind som link på peecee.dk

Svar #8
30. maj 2007 af stræber-pigen (Slettet)

Jeg forstår.. Tak for hjælpen!

Svar #9
30. maj 2007 af stræber-pigen (Slettet)

#1 Men hvad betyder
S f(x,y)dxdy egentlig?

Brugbart svar (0)

Svar #10
30. maj 2007 af Erik Morsing (Slettet)

Det er et dobbeltintegral

Brugbart svar (0)

Svar #11
31. maj 2007 af Riemann

#9
Se evt. introduktionen her:

http://en.wikipedia.org/wiki/Multiple_integral

Svar #12
31. maj 2007 af stræber-pigen (Slettet)

#1 Hvis det er en familie af stamfunktioner giver Sf(x)dx også et areal

Brugbart svar (0)

Svar #13
31. maj 2007 af Riemann

Du har ikke angivet nogle grænser i dit integral, så nej.

Brugbart svar (0)

Svar #14
31. maj 2007 af Erik Morsing (Slettet)

Hvis du for eksempel skriver ligningen med det ubestemte integral (uden grænseværdier):

integralet(cos(x)dx = x^2, så er løsningen:

x = (sin(x))^1/2

Den værdi kan du godt opfatte som siden i et kvadrat, så det ubestemte integral kan godt opfattes som et areal, når x udtrykkes i meter.

Brugbart svar (0)

Svar #15
31. maj 2007 af Riemann

#14
man kan da ikke udelade integrationskonstanten bare fordi enheden er i meter!??

- eller er det mig der har misforstået noget? I givet fald må du gerne uddybe lidt...

Skriv et svar til: Stamfunktioner

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.