Matematik

0^0 - Serie

07. juni 2007 af stræber-pigen (Slettet)

Den harmoniske serie divergerer.

Det er fordi sum 1^n = 1/(1-1) = 1/0 = uendelig. Men kan det argument bruges?

Hvis man så tager sum 0^n = 1/1-0 = 1, hvilket svarer til at 0^0 = 1, men 0^0 er vel udefineret?

Brugbart svar (0)

Svar #1
07. juni 2007 af sigmund (Slettet)

Du kan finde et argument for divergensen af den harmoniske række på http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_%28mathematics%29 og på http://mathworld.wolfram.com/HarmonicSeries.html .

Den harmoniske række er iøvrigt ikke {1^n}, men hellere {1/n}.

Brugbart svar (0)

Svar #2
08. juni 2007 af Erik Morsing (Slettet)

Den harmoniske serie sigma (1/n), n=1 til uendelig =

Sn = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4...+ 1/n divergerer mod uendelig.
Du skal forestille dig det (eller tegne det som sum af arealer, (stolpediagram), hvis du kan forestille dig det.
Arealet under y=1/x fra 1 til n+1 =
integralet (dx/x)=ln(n+1) (integralets grænser:(1,n+1)

Altså det er summen af arealerne af mindre og mindre rektangler

Altså grænseværdien for n gående mod uendelig til:
ln(n+1) = uendelig. Derfor er Lim Sn = uendelig for n gående mod uendelig og:

Sigma(1/n) = 1+1/2+1/3+... divergerer mod uendelig.

Det er altid godt at se på grafer.

Brugbart svar (0)

Svar #3
08. juni 2007 af Duffy

"men 0^0 er vel udefineret?"

Jah, for 0^x -> 0 for x->0

og

x^0 -> 1 for x->0

Der for giver 0^0 ikke mening.

Brugbart svar (0)

Svar #4
08. juni 2007 af Erik Morsing (Slettet)

0^0 er pr. definition lig 0. 0 opløftet til en potens er altid 0

Brugbart svar (0)

Svar #5
08. juni 2007 af Duffy

#4:

0^0 er udefineret. [Jvf #3] :-)

Brugbart svar (0)

Svar #6
08. juni 2007 af Erik Morsing (Slettet)

0^0 er 0 står der nogle steder på nettet, det er en gammel diskussion, men det er vel lige så rigtigt at argumentere for at 0^0 = 1, se her:
Læg især mærke til den sidste sætning. Så det må vel være mest korrekt at sige, at 0^0 er defineret. Jeg skrev forkert i #4

Published by Addison-Wesley, 2nd printing Dec, 1988.

As a rule of thumb, one can say that 0^0 = 1 , but 0.0^(0.0) is undefined, meaning that when approaching from a different direction there is no clearly predetermined value to assign to 0.0^(0.0) ; but Kahan has argued that 0.0^(0.0) should be 1, because if f(x), g(x) --> 0 as x approaches some limit, and f(x) and g(x) are analytic functions, then f(x)^g(x) --> 1 .

The discussion of 0^0 is very old. Euler argues for 0^0 = 1 since a^0 = 1 for a not equal to 0 . The controversy raged throughout the nineteenth century, but was mainly conducted in the pages of the lesser journals: Grunert's Archiv and Schlomilch's Zeitshrift.
Consensus has recently been built around setting the value of 0^0 = 1 .

Brugbart svar (0)

Svar #7
08. juni 2007 af Duffy

" but 0.0^(0.0) is undefined, " - jah, klarere kan det ikke siges.

Svar #8
08. juni 2007 af stræber-pigen (Slettet)

okay, tak :)

Brugbart svar (0)

Svar #9
08. juni 2007 af Duffy

Jah, det var godt at vi endelig fik slået fast at

0^0 er udefineret. [Jvf #3] :-)

Skriv et svar til: 0^0 - Serie

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.